При каких значениях параметра а система уравнений имеет ровно одно решение? В ответ запишите наименьшее значение параметра, удовлетворяющее условию задачи.

Question

Вопрос:

При каких значениях параметра а система уравнений имеет ровно одно решение? В ответ запишите наименьшее значение параметра, удовлетворяющее условию задачи.

Открыть фото

Ответ:

📄 Все ответы 📸 Решить моё задание

Accepted Answer

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} y = 2|x - a| + 3a + 7 \\ (x+4)^2 + (y-5)^2 = 5 \end{cases} \)

Первое уравнение задаёт "галочку" с вершиной в точке \( (a, 3a+7) \). Второе уравнение задаёт окружность с центром в точке \( (-4, 5) \) и радиусом \( \sqrt{5} \).

Система будет иметь ровно одно решение, когда "галочка" касается окружности в одной точке.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

Случай 1: \( x ≥ a \)
\( y = 2(x - a) + 3a + 7 = 2x - 2a + 3a + 7 = 2x + a + 7 \)
Это прямая \( y = 2x + a + 7 \). Найдём условие касания этой прямой и окружности \( (x+4)^2 + (y-5)^2 = 5 \).
Подставим \( y \) из уравнения прямой в уравнение окружности:
\( (x+4)^2 + (2x + a + 7 - 5)^2 = 5 \)
\( (x+4)^2 + (2x + a + 2)^2 = 5 \)
\( x^2 + 8x + 16 + 4x^2 + 4x(a+2) + (a+2)^2 = 5 \)
\( 5x^2 + (8 + 4a + 8)x + 16 + a^2 + 4a + 4 - 5 = 0 \)
\( 5x^2 + (16 + 4a)x + a^2 + 4a + 15 = 0 \)
Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
\( D = (16 + 4a)^2 - 4 · 5 · (a^2 + 4a + 15) = 0 \)
\( 256 + 128a + 16a^2 - 20a^2 - 80a - 300 = 0 \)
\( -4a^2 + 48a - 44 = 0 \)
\( a^2 - 12a + 11 = 0 \)
\( (a-1)(a-11) = 0 \)
\( a = 1 \) или \( a = 11 \).
Теперь нужно учесть условие \( x ≥ a \).
Если \( a = 1 \): \( 5x^2 + 20x + 20 = 0 \) \( x^2 + 4x + 4 = 0 \) \( (x+2)^2 = 0 \) \( x = -2 \). Условие \( x ≥ a \) → \( -2 ≥ 1 \) — не выполняется.
Если \( a = 11 \): \( 5x^2 + (16 + 44)x + 121 + 44 + 15 = 0 \) \( 5x^2 + 60x + 180 = 0 \) \( x^2 + 12x + 36 = 0 \) \( (x+6)^2 = 0 \) \( x = -6 \). Условие \( x ≥ a \) → \( -6 ≥ 11 \) — не выполняется.
Это означает, что касание прямой происходит вне области \( x ≥ a \).
Случай 2: \( x < a \)
\( y = -2(x - a) + 3a + 7 = -2x + 2a + 3a + 7 = -2x + 5a + 7 \)
Это прямая \( y = -2x + 5a + 7 \). Найдём условие касания этой прямой и окружности \( (x+4)^2 + (y-5)^2 = 5 \).
Подставим \( y \) из уравнения прямой в уравнение окружности:
\( (x+4)^2 + (-2x + 5a + 7 - 5)^2 = 5 \)
\( (x+4)^2 + (-2x + 5a + 2)^2 = 5 \)
\( x^2 + 8x + 16 + 4x^2 - 4x(5a+2) + (5a+2)^2 = 5 \)
\( 5x^2 + (8 - 20a - 8)x + 16 + 25a^2 + 20a + 4 - 5 = 0 \)
\( 5x^2 - 20ax + 25a^2 + 20a + 15 = 0 \)
Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
\( D = (-20a)^2 - 4 · 5 · (25a^2 + 20a + 15) = 0 \)
\( 400a^2 - 20(25a^2 + 20a + 15) = 0 \)
\( 400a^2 - 500a^2 - 400a - 300 = 0 \)
\( -100a^2 - 400a - 300 = 0 \)
\( a^2 + 4a + 3 = 0 \)
\( (a+1)(a+3) = 0 \)
\( a = -1 \) или \( a = -3 \).
Теперь нужно учесть условие \( x < a \).
Если \( a = -1 \): \( 5x^2 - 20(-1)x + 25(-1)^2 + 20(-1) + 15 = 0 \) \( 5x^2 + 20x + 25 - 20 + 15 = 0 \) \( 5x^2 + 20x + 20 = 0 \) \( x^2 + 4x + 4 = 0 \) \( (x+2)^2 = 0 \) \( x = -2 \). Условие \( x < a \) → \( -2 < -1 \) — выполняется.
Если \( a = -3 \): \( 5x^2 - 20(-3)x + 25(-3)^2 + 20(-3) + 15 = 0 \) \( 5x^2 + 60x + 225 - 60 + 15 = 0 \) \( 5x^2 + 60x + 180 = 0 \) \( x^2 + 12x + 36 = 0 \) \( (x+6)^2 = 0 \) \( x = -6 \). Условие \( x < a \) → \( -6 < -3 \) — выполняется.
Таким образом, при \( a = -1 \) и \( a = -3 \) система имеет ровно одно решение.
Теперь рассмотрим случай, когда вершина "галочки" находится на окружности.
Вершина "галочки" имеет координаты \( (a, 3a+7) \). Подставим эти координаты в уравнение окружности:
\( (a+4)^2 + (3a+7-5)^2 = 5 \)
\( (a+4)^2 + (3a+2)^2 = 5 \)
\( a^2 + 8a + 16 + 9a^2 + 12a + 4 = 5 \)
\( 10a^2 + 20a + 20 = 5 \)
\( 10a^2 + 20a + 15 = 0 \)
\( 2a^2 + 4a + 3 = 0 \)
Дискриминант этого квадратного уравнения: \( D = 4^2 - 4 · 2 · 3 = 16 - 24 = -8 < 0 \). Действительных решений нет, значит, вершина "галочки" никогда не лежит на окружности.
Рассмотрим также случаи, когда одна из ветвей "галочки" касается окружности.
Круг имеет центр \( C(-4, 5) \) и радиус \( R = √ 5 \).
Прямая \( y = 2x + a + 7 \) (или \( 2x - y + a + 7 = 0 \)) касается окружности, если расстояние от центра \( C \) до прямой равно радиусу.
\( \frac{|2(-4) - 5 + a + 7|}{√{2^2 + (-1)^2}} = √ 5 \)
\( \frac{|-8 - 5 + a + 7|}{√ 5} = √ 5 \)
\( |-6 + a| = 5 \)
\( -6 + a = 5 \) или \( -6 + a = -5 \)
\( a = 11 \) или \( a = 1 \). Эти значения были получены ранее, но для них условие \( x ≥ a \) не выполнялось.
Прямая \( y = -2x + 5a + 7 \) (или \( 2x + y - 5a - 7 = 0 \)) касается окружности, если расстояние от центра \( C \) до прямой равно радиусу.
\( \frac{|2(-4) + 5 - 5a - 7|}{√{2^2 + 1^2}} = √ 5 \)
\( \frac{|-8 + 5 - 5a - 7|}{√ 5} = √ 5 \)
\( |-10 - 5a| = 5 \)
\( |10 + 5a| = 5 \)
\( 10 + 5a = 5 \) или \( 10 + 5a = -5 \)
\( 5a = -5 \) или \( 5a = -15 \)
\( a = -1 \) или \( a = -3 \). Эти значения были получены ранее, и для них условие \( x < a \) выполнялось.
Итак, система имеет ровно одно решение при \( a = -1 \) и \( a = -3 \).
Наименьшее значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, равно -3.
Ответ: -3.