При каких значениях параметра \(a\) система \(\begin{cases} y=x^2-2x,\\ x^2+y^2+a^2=2x+2ay \end{cases}\) имеет решения?

Подставим первое уравнение во второе. Сначала преобразуем второе уравнение, выделив квадраты:

\((x-1)^2+(y-a)^2=1\).

Из первого уравнения \(y=(x-1)^2-1\). Обозначим \(u=(x-1)^2\), тогда \(u\geq 0\) и \(y=u-1\). Подстановка даёт:

\(u+(u-1-a)^2=1\),

\(u^2-(1+2a)u+a^2+2a=0\).

Чтобы система имела действительное решение, у этого квадратного уравнения должен быть корень \(u\geq0\). Дискриминант равен \(D=1-4a\), поэтому необходимо \(a\leq\frac14\). Больший корень:

\(u_+=\frac{1+2a+\sqrt{1-4a}}{2}\).

При \(-1\leq a\leq\frac14\) этот корень неотрицателен. Если \(a<-1\), то оба корня отрицательны: их сумма \(1+2a<0\), произведение \(a(a+2)>0\), а дискриминант положителен. Следовательно, неотрицательного \(u\) нет.

Ответ: \(-1\leq a\leq\frac14\).