288. При каких значениях $$a$$ равно нулю значение дроби: a) $$\frac{a^3-9a}{a^2+a-12}$$; б) $$\frac{a^5 + 2a^4}{a^3+a+10}$$; в) $$\frac{a^5 - 4a^4 + 4a^3}{a^4 - 16}$$?

Для того, чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не был равен нулю. a) $$\frac{a^3-9a}{a^2+a-12}$$; 1. Приравняем числитель к нулю: $$a^3 - 9a = 0$$ $$a(a^2 - 9) = 0$$ $$a(a - 3)(a + 3) = 0$$ $$a = 0, a = 3, a = -3$$ 2. Приравняем знаменатель к нулю: $$a^2 + a - 12 = 0$$ По теореме Виета: $$a_1 + a_2 = -1$$ $$a_1 \cdot a_2 = -12$$ $$a_1 = -4, a_2 = 3$$ Значит, $$a
eq -4, a
eq 3$$. 3. Подходят значения $$a = 0$$ и $$a = -3$$. Ответ: $$a = 0, a = -3$$. б) $$\frac{a^5 + 2a^4}{a^3+a+10}$$; 1. Приравняем числитель к нулю: $$a^5 + 2a^4 = 0$$ $$a^4(a + 2) = 0$$ $$a = 0, a = -2$$ 2. Приравняем знаменатель к нулю: $$a^3 + a + 10 = 0$$ Подбором находим корень $$a = -2$$: $$(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$$ Разделим многочлен $$a^3 + a + 10$$ на $$(a+2)$$ столбиком:

       a^2 - 2a + 5
a+2 | a^3 + 0a^2 + a + 10
      a^3 + 2a^2
      ----------
           -2a^2 + a
           -2a^2 - 4a
           ----------
                  5a + 10
                  5a + 10
                  ----------
                         0

$$a^3 + a + 10 = (a+2)(a^2 - 2a + 5)$$ Найдем корни квадратного трехчлена $$a^2 - 2a + 5 = 0$$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$$ Т.к. $$D < 0$$, то квадратный трехчлен не имеет корней. Значит, знаменатель обращается в ноль только при $$a = -2$$. 3. Значение $$a = -2$$ не подходит. Подходит только значение $$a = 0$$. Ответ: $$a = 0$$. в) $$\frac{a^5 - 4a^4 + 4a^3}{a^4 - 16}$$; 1. Приравняем числитель к нулю: $$a^5 - 4a^4 + 4a^3 = 0$$ $$a^3(a^2 - 4a + 4) = 0$$ $$a^3(a - 2)^2 = 0$$ $$a = 0, a = 2$$ 2. Приравняем знаменатель к нулю: $$a^4 - 16 = 0$$ $$a^4 = 16$$ $$a = 2, a = -2$$ Значит, $$a
eq 2, a
eq -2$$. 3. Значение $$a = 2$$ не подходит. Подходит только значение $$a = 0$$. Ответ: $$a = 0$$.