При каких целых отрицательных значениях \(x\) неравенство \(\frac{x}{2}-\frac{16x+7}{6}<x+7-\frac{5x+1}{3}\) верно?

Приведём обе части к общему знаменателю 6:

Левая часть: \(\frac{x}{2}-\frac{16x+7}{6}=\frac{3x-(16x+7)}{6}=\frac{-13x-7}{6}\).

Правая часть: \(x+7-\frac{5x+1}{3}=\frac{6x+42-(10x+2)}{6}=\frac{-4x+40}{6}\).

Так как знаменатель 6 положителен, сравним числители: \(-13x-7<-4x+40\). Отсюда \(-9x<47\), то есть \(x>-\frac{47}{9}\).

Среди целых отрицательных чисел этому условию удовлетворяют \(-5,-4,-3,-2,-1\).

Ответ: \(x\in\{-5,-4,-3,-2,-1\}\).