При каких k и m уравнение (k² + 2k – 3)x = m + 4 не имеет решений?

Решение:

Линейное уравнение \( Ax = B \) не имеет решений, если \( A=0 \) и \( B ≠ 0 \).

В данном уравнении \( (k^2 + 2k - 3)x = m + 4 \) имеем:

• \( A = k^2 + 2k - 3 \)
• \( B = m + 4 \)

Для того чтобы уравнение не имело решений, необходимо, чтобы коэффициент при \( x \) был равен нулю, а правая часть уравнения не была равна нулю.

1. Приравняем коэффициент при \( x \) к нулю:

\( k^2 + 2k - 3 = 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( k_1 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{-2 + √{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( k_2 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{-2 - √{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Итак, \( k=1 \) или \( k=-3 \).

2. Приравняем правую часть к нулю, чтобы найти значения \( m \), при которых решения есть:

\( m + 4 = 0 \) → \( m = -4 \)

3. Условие отсутствия решений:

Уравнение не имеет решений, если \( k^2 + 2k - 3 = 0 \) (то есть \( k=1 \) или \( k=-3 \)), и при этом \( m + 4 ≠ 0 \) (то есть \( m ≠ -4 \)).

Ответ: Уравнение не имеет решений при \( k = 1 \) или \( k = -3 \), и \( m ≠ -4 \).