Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим вероятность уничтожения цели при первом выстреле как \( P_1 = 0.4 \) и вероятность уничтожения при каждом последующем выстреле как \( P_{succ} = 0.6 \). Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена при одном выстреле, равна \( 1 - P_{succ} = 1 - 0.6 = 0.4 \).
Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \( n \) выстрелов, при условии, что она не была уничтожена предыдущими выстрелами, рассчитывается так:
\( P(\text{не уничтожена после } n \text{ выстрелов}) = (1 - P_1) \cdot (1 - P_{succ})^{n-1} \) для \( n=1 \) и \( P(\text{не уничтожена после } n \text{ выстрелов}) = (1 - P_1) \cdot (0.4)^{n-1} \).
Однако, проще посчитать вероятность НЕ уничтожения цели после \( n \) выстрелов, если учесть, что каждый последующий выстрел имеет вероятность успеха 0.6, а неудачу — 0.4.
Вероятность того, что цель будет уничтожена после \( n \) выстрелов, равна \( P(\text{уничтожена после } n \text{ выстрелов}) = 1 - P(\text{не уничтожена после } n \text{ выстрелов}) \).
Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \( n \) выстрелов:
- После 1 выстрела: \( 1 - 0.4 = 0.6 \)
- После 2 выстрелов: \( (1 - 0.4) \times (1 - 0.6) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \)
- После 3 выстрелов: \( (1 - 0.4) \times (1 - 0.6) \times (1 - 0.6) = 0.6 \times 0.4 \times 0.4 = 0.096 \)
- После \( n \) выстрелов: \( (1 - P_1) \times (1 - P_{succ})^{n-1} \)
Мы хотим, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.98. Это означает, что вероятность НЕ уничтожения цели должна быть не более \( 1 - 0.98 = 0.02 \).
\( (1 - 0.4) \times (0.4)^{n-1} ≤ 0.02 \)
\( 0.6 \times (0.4)^{n-1} ≤ 0.02 \)
\( (0.4)^{n-1} ≤ \frac{0.02}{0.6} \)
\( (0.4)^{n-1} ≤ \frac{1}{30} \)
\( (0.4)^{n-1} ≤ 0.0333... \)
Проверим значения \( n \):
- Если \( n=1 \): \( (0.4)^{1-1} = (0.4)^0 = 1 \) (не подходит)
- Если \( n=2 \): \( (0.4)^{2-1} = 0.4 \) (не подходит)
- Если \( n=3 \): \( (0.4)^{3-1} = (0.4)^2 = 0.16 \) (не подходит)
- Если \( n=4 \): \( (0.4)^{4-1} = (0.4)^3 = 0.064 \) (не подходит)
- Если \( n=5 \): \( (0.4)^{5-1} = (0.4)^4 = 0.0256 \) (не подходит)
- Если \( n=6 \): \( (0.4)^{6-1} = (0.4)^5 = 0.01024 \) (подходит, так как \( 0.01024 ≤ 0.0333... \))
Таким образом, требуется 6 выстрелов.
Проверим вероятность уничтожения для \( n=5 \) и \( n=6 \):
- При \( n=5 \): Вероятность не уничтожить = \( 0.6 \times (0.4)^{5-1} = 0.6 \times (0.4)^4 = 0.6 \times 0.0256 = 0.01536 \). Вероятность уничтожить = \( 1 - 0.01536 = 0.98464 \). Это больше 0.98.
- При \( n=4 \): Вероятность не уничтожить = \( 0.6 \times (0.4)^{4-1} = 0.6 \times (0.4)^3 = 0.6 \times 0.064 = 0.0384 \). Вероятность уничтожить = \( 1 - 0.0384 = 0.9616 \). Это меньше 0.98.
Значит, нам нужно 5 выстрелов.
Давай пересчитаем вероятность НЕ уничтожения после \(n\) выстрелов:
\( P(\text{не уничтожена после } n \text{ выстрелов}) = (1 - P_1) \times (1 - P_{succ})^{n-1} \)
\( P(\text{не уничтожена после } 1 \text{ выстрела}) = 1 - 0.4 = 0.6 \)
\( P(\text{не уничтожена после } 2 \text{ выстрелов}) = (1 - 0.4) \times (1 - 0.6) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \)
\( P(\text{не уничтожена после } 3 \text{ выстрелов}) = 0.24 \times 0.4 = 0.096 \)
\( P(\text{не уничтожена после } 4 \text{ выстрелов}) = 0.096 \times 0.4 = 0.0384 \)
\( P(\text{не уничтожена после } 5 \text{ выстрелов}) = 0.0384 \times 0.4 = 0.01536 \)
\( P(\text{не уничтожена после } 6 \text{ выстрелов}) = 0.01536 \times 0.4 = 0.006144 \)
Нам нужно, чтобы вероятность уничтожения была не менее 0.98, то есть вероятность НЕ уничтожения была не более 0.02.
- При \( n=4 \): вероятность не уничтожить = \( 0.0384 \) (больше 0.02)
- При \( n=5 \): вероятность не уничтожить = \( 0.01536 \) (меньше 0.02)
Следовательно, потребуется 5 выстрелов.
Ответ: 5
