Преобразование простейших тригонометрических выражений Для любого угла а справедливо равенство: sin² a + cos² a = 1. Это тождество называют основным тригонометрическим тождеством. Задание 1. В прямоугольном треугольнике есть угол а. Известно, что sin a = 0,8. Чему равен cosa? Решение. Подставим в основное тригонометрическое тождество значение sina = 0,8 и получим уравнение: sin²a + cos2a = 1 0,82 + cos2a = 1 0,64 + cos2a = 1 cos²a = 1-0,64 cos²a = 0,36 cosa = - 0,6 или cosa = 0,6 Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию а – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол а относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, cosa = 0,6. Ответ: 0,6. Задание 2. Вычислите sina, если cosa = 0,28 и а принадлежит IV четверти. Решение. sin²a + cos2a = 1 0,282 + sin²a = 1 0,0784 + sin2a = 1 sin²a = 1 -0,0784 sin²a = 0,9216 sin a = -0,96 или sin a = 0,96 Так как а принадлежит IV четверти, то sina должен быть отрицательным, поэтому sina = 0,96. Напомним, что в IV четверти значение косинуса положительно, ведь соответствующая ей дуга единичной окружности располагается правее оси Оу, то есть абсциссы точек, принадлежащих ей, положительны. Ответ: – 0,96. Задание 3. Найдите tga, если sina = 5/13 и π/2 < α < π. Решение. Здесь задача уже в два действия. Сначала определим cosa: sin²a + cos2a = 1 cos²a = 1 - sin²a = 1 – (5/13)2 = 169/169 – 25/169 = 144/169 cosa = 12/13 или cosa = 12/13 Условие п/2 < α < л указывает на то, что угол относится ко II четверти, в которой косинус отрицателен, поэтому cosa = – 12/13. Далее находим тангенс, просто деля синус на косинус: tga = sina:cosa = (5/13):(12/13) = (5/13) (13/12) = 5/12 Ответ: 5/12

Задание 1.

Дано: \(sin \alpha = 0,8\). Найти: \(cos \alpha\).

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

Подставляем известное значение синуса: $$0,8^2 + cos^2 \alpha = 1$$

$$0,64 + cos^2 \alpha = 1$$

$$cos^2 \alpha = 1 - 0,64$$

$$cos^2 \alpha = 0,36$$

Извлекаем квадратный корень: $$cos \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6$$

Так как угол \(\alpha\) находится в прямоугольном треугольнике, он является острым (меньше 90°), а в первой четверти косинус положителен. Следовательно, $$cos \alpha = 0,6$$

Ответ: 0,6.

Задание 2.

Дано: \(cos \alpha = 0,28\), \(\alpha\) принадлежит IV четверти. Найти: \(sin \alpha\).

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

Подставляем известное значение косинуса: $$sin^2 \alpha + 0,28^2 = 1$$

$$sin^2 \alpha + 0,0784 = 1$$

$$sin^2 \alpha = 1 - 0,0784$$

$$sin^2 \alpha = 0,9216$$

Извлекаем квадратный корень: $$sin \alpha = \pm \sqrt{0,9216} = \pm 0,96$$

Так как угол \(\alpha\) принадлежит IV четверти, синус в этой четверти отрицателен. Следовательно, $$sin \alpha = -0,96$$

Ответ: – 0,96.

Задание 3.

Дано: \(sin \alpha = \frac{5}{13}\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Найти: \(tg \alpha\).

Сначала найдем косинус, используя основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

$$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2$$

$$cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$$

Извлекаем квадратный корень: $$cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$$

Так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), угол находится во II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $$cos \alpha = -\frac{12}{13}$$

Теперь найдем тангенс: $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) = -\frac{5}{12}$$

Ответ: -rac{5}{12}.