Представьте выражение в виде рациональной дроби и сократите её. $$ \frac{a+3}{5a^2 - 30a + 45} \cdot \left( \frac{a}{3a-9} - \frac{a^2+9}{3a^2-27} - \frac{3}{a^2+3a} \right) $$

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
   • \( 5a^2 - 30a + 45 = 5(a^2 - 6a + 9) = 5(a-3)^2 \)
   • \( 3a-9 = 3(a-3) \)
   • \( 3a^2-27 = 3(a^2-9) = 3(a-3)(a+3) \)
   • \( a^2+3a = a(a+3) \)
2. Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$$ \frac{a+3}{5(a-3)^2} \cdot \left( \frac{a}{3(a-3)} - \frac{a^2+9}{3(a-3)(a+3)} - \frac{3}{a(a+3)} \right) $$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \( 3a(a-3)(a+3) \):

$$ \frac{a+3}{5(a-3)^2} \cdot \left( \frac{a \cdot a(a+3)}{3a(a-3)(a+3)} - \frac{(a^2+9) \cdot a}{3a(a-3)(a+3)} - \frac{3 3(a-3)}{3a(a-3)(a+3)} \right) $$

Выполним операции в числителе дроби в скобках:

$$ \frac{a+3}{5(a-3)^2} \cdot \frac{a^2(a+3) - a(a^2+9) - 9(a-3)}{3a(a-3)(a+3)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{a+3}{5(a-3)^2} \cdot \frac{a^3+3a^2 - a^3-9a - 9a+27}{3a(a-3)(a+3)} $$

Упростим числитель:

$$ \frac{a+3}{5(a-3)^2} \cdot \frac{3a^2 - 18a + 27}{3a(a-3)(a+3)} $$

Вынесем общий множитель \( 3 \) из числителя:

$$ \frac{a+3}{5(a-3)^2} \cdot \frac{3(a^2 - 6a + 9)}{3a(a-3)(a+3)} $$

Заметим, что \( a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2 \):

$$ \frac{a+3}{5(a-3)^2} \cdot \frac{3(a-3)^2}{3a(a-3)(a+3)} $$

Сократим общие множители \( (a-3)^2 \) и \( 3 \) и \( (a+3) \):

$$ \frac{\cancel{a+3}}{5\cancel{(a-3)^2}} \cdot \frac{\cancel{3}\cancel{(a-3)^2}}{\cancel{3}a\cancel{(a-3)}\cancel{(a+3)}}} = \frac{1}{5a} $$

Ответ: \( \frac{1}{5a} \).