Представьте выражение в виде дроби, не содержащей отрицательные показатели: \(\left(\frac{a^{4}}{b^{2}}\right)^{-3} \cdot a^{9} b^{-5} = ?\)

Решение:

Для упрощения выражения применим свойства степеней.

1. Сначала раскроем скобки, используя свойство \( \left(\frac{x}{y}\right)^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}} \) и \( \left(x^{m}\right)^{n} = x^{mn} \):
   \( \left(\frac{a^{4}}{b^{2}}\right)^{-3} = \frac{(a^{4})^{-3}}{(b^{2})^{-3}} = \frac{a^{4 \times (-3)}}{b^{2 \times (-3)}} = \frac{a^{-12}}{b^{-6}} \)
2. Теперь умножим полученное выражение на \( a^{9} b^{-5} \):
   \( \frac{a^{-12}}{b^{-6}} \cdot a^{9} b^{-5} = \frac{a^{-12} \cdot a^{9}}{b^{-6} \cdot b^{5}} \)
3. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием \( x^{m} \cdot x^{n} = x^{m+n} \):
   \( \frac{a^{-12+9}}{b^{-6+5}} = \frac{a^{-3}}{b^{-1}} \)
4. Чтобы избавиться от отрицательных показателей степени, используем свойство \( x^{-n} = \frac{1}{x^{n}} \) и \( \frac{1}{x^{-n}} = x^{n} \):
   \( \frac{a^{-3}}{b^{-1}} = \frac{b^{1}}{a^{3}} = \frac{b}{a^{3}} \)

Ответ: \(\frac{b}{a^{3}}\).