Представьте выражение в виде дроби, не содержащей отрицательные показатели: \( \left( \frac{a^2}{b^3} \right)^{-3} \cdot a^2 b^{-8} \)

Решение:

Для того чтобы представить данное выражение в виде дроби, не содержащей отрицательные показатели, воспользуемся свойствами степеней:

1. Возведём дробь \( \left( \frac{a^2}{b^3} \right)^{-3} \) в степень -3. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а при возведении дроби в степень, возводится в эту степень и числитель, и знаменатель:

\( \left( \frac{a^2}{b^3} \right)^{-3} = \frac{(a^2)^{-3}}{(b^3)^{-3}} = \frac{a^{2 × (-3)}}{b^{3 × (-3)}} = \frac{a^{-6}}{b^{-9}} \)

Используя свойство отрицательной степени \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \) и \( \frac{1}{x^{-n}} = x^n \), мы можем переписать это как:

\( \frac{a^{-6}}{b^{-9}} = \frac{b^9}{a^6} \)

2. Теперь умножим полученное выражение на \( a^2 b^{-8} \):

\( \frac{b^9}{a^6} \cdot a^2 b^{-8} = \frac{b^9}{a^6} \cdot \frac{a^2}{b^8} \)

3. Перемножим дроби, умножив числители и знаменатели:

\( \frac{b^9 \cdot a^2}{a^6 \cdot b^8} \)

4. Сократим степени:

\( \frac{b^{9-8}}{a^{6-2}} = \frac{b^1}{a^4} = \frac{b}{a^4} \)

Таким образом, мы получили выражение в виде дроби, не содержащей отрицательные показатели.

Ответ: \( \frac{b}{a^4} \).