Предположим, что нам как-то удалось описать вокруг параллелограмма ABCD окружность. Тогда, согласно предыдущей теореме, выполняется: \(\alpha + \beta = \dots ^\circ\), то есть \(\angle B + \angle D = \dots\)

Решение:

Если вокруг параллелограмма ABCD можно описать окружность, то он является вписанным в окружность. Для четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. В параллелограмме противоположные углы равны.

По свойству параллелограмма, его противоположные углы равны:

\(\angle B = \angle D\)

Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°:

\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)

Так как \(\angle B = \angle D\), мы можем подставить \(\angle B\) вместо \(\angle D\):

\(\angle B + \angle B = 180^\circ\)

\(2 \angle B = 180^\circ\)

\(\angle B = \frac{180^\circ}{2}\)

\(\angle B = 90^\circ\)

Следовательно, \(\angle B = \angle D = 90^\circ\).

Аналогично, \(\angle A = \angle C\).

Так как сумма углов четырёхугольника равна 360°, то \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\).

\(\angle A + 90^\circ + \angle C + 90^\circ = 360^\circ\)

\(\angle A + \angle C + 180^\circ = 360^\circ\)

\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)

Так как \(\angle A = \angle C\), то:

\(\angle A + \angle A = 180^\circ\)

\(2 \angle A = 180^\circ\)

\(\angle A = 90^\circ\)

Следовательно, \(\angle A = \angle C = 90^\circ\).

Таким образом, если вокруг параллелограмма можно описать окружность, то все его углы равны 90°, то есть это прямоугольник.

В данном случае \(\alpha\) и \(\beta\) — это противоположные углы. По теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов равна 180°. Поэтому \(\alpha + \beta = 180^\circ\).

Ответ: 180°, \(\angle B + \angle D = 180^\circ\).