Предмет сферической формы с полостью внутри плавает в жидкости, погрузившись в неё на одну треть своего объёма. Определи, какую часть объёма шара составляет полость, если плотность шара в 9 раз больше плотности жидкости. (Ответ запиши в виде дроби.)

Ответ: \(\frac{26}{27}\)

Решение:

Пусть \(V\) - объём шара, \(V_{п}\) - объём полости, \(\rho_{ш}\) - плотность шара, \(\rho_{ж}\) - плотность жидкости.

По условию, шар плавает, погрузившись на одну треть своего объёма, значит, объём вытесненной жидкости равен \(\frac{1}{3}V\).

Плотность шара в 9 раз больше плотности жидкости: \(\rho_{ш} = 9\rho_{ж}\).

Условие плавания тела: сила тяжести равна силе Архимеда:

\[mg = F_{A}\] \[\rho_{ш}Vg = \rho_{ж}V_{выт}g\]

Подставим известные значения:

\[9\rho_{ж}Vg = \rho_{ж}\frac{1}{3}Vg\]

Сократим на \(\rho_{ж}g\):

\[9V = \frac{1}{3}V\]

Но объём шара состоит из объёма вещества шара и объёма полости:

\[V = V_{вещ} + V_{п}\]

Масса шара: \(m = \rho_{ш}V_{вещ}\)

Тогда уравнение условия плавания:

\[\rho_{ш}V_{вещ}g = \rho_{ж}\frac{1}{3}Vg\] \[9\rho_{ж}V_{вещ}g = \rho_{ж}\frac{1}{3}Vg\]

Сократим на \(\rho_{ж}g\):

\[9V_{вещ} = \frac{1}{3}V\] \[V_{вещ} = \frac{1}{27}V\]

Найдём объём полости:

\[V_{п} = V - V_{вещ} = V - \frac{1}{27}V = \frac{26}{27}V\]

Какую часть объёма шара составляет полость:

\[\frac{V_{п}}{V} = \frac{\frac{26}{27}V}{V} = \frac{26}{27}\]

Ответ: \(\frac{26}{27}\)