Правильный кубик бросают 6 раз. Найдите P(ровно 3 шестёрок).

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность выпадения шестёрки при одном броске правильного кубика равна \( p = \frac{1}{6} \). Вероятность не выпадения шестёрки равна \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \). Количество бросков \( n = 6 \). Нам нужно найти вероятность того, что шестёрка выпадет ровно \( k = 3 \) раза.

Формула биномиального распределения:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), которое рассчитывается как \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

1. Рассчитаем число сочетаний \( C_6^3 \):
   \[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]
2. Рассчитаем \( p^k \) и \( q^{n-k} \):
   \[ p^3 = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \] \[ q^{6-3} = q^3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \]
3. Подставим значения в формулу биномиального распределения:
   \[ P(X=3) = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} = \frac{20 \times 125}{216 \times 216} = \frac{2500}{46656} \]
4. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
   \[ P(X=3) = \frac{2500 \div 4}{46656 \div 4} = \frac{625}{11664} \]

Ответ: \( \frac{625}{11664} \).