Практическое занятие №8. Преобразование сумм тригонометрических функций. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Задание №1. Представьте в виде произведения: a) sin 40° + sin 16°; б) sin 20° – sin 40°;

Решение:

Для решения используем формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

• \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
• \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)

а) \( \sin 40^{\circ} + \sin 16^{\circ} \)

Применяем первую формулу:

\[ \sin 40^{\circ} + \sin 16^{\circ} = 2 \sin \frac{40^{\circ} + 16^{\circ}}{2} \cos \frac{40^{\circ} - 16^{\circ}}{2} \]

\[ = 2 \sin \frac{56^{\circ}}{2} \cos \frac{24^{\circ}}{2} \]

\[ = 2 \sin 28^{\circ} \cos 12^{\circ} \]

б) \( \sin 20^{\circ} - \sin 40^{\circ} \)

Применяем вторую формулу:

\[ \sin 20^{\circ} - \sin 40^{\circ} = 2 \cos \frac{20^{\circ} + 40^{\circ}}{2} \sin \frac{20^{\circ} - 40^{\circ}}{2} \]

\[ = 2 \cos \frac{60^{\circ}}{2} \sin \frac{-20^{\circ}}{2} \]

\[ = 2 \cos 30^{\circ} \sin (-10^{\circ}) \]

Так как \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \), получаем:

\[ = -2 \cos 30^{\circ} \sin 10^{\circ} \]

Значение \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^{\circ} \]

\[ = -\sqrt{3} \sin 10^{\circ} \]

Ответ: а) \( 2 \sin 28^{\circ} \cos 12^{\circ} \); б) \( -\sqrt{3} \sin 10^{\circ} \).