Практическая работа 1 вариант. Часть 1 1. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см, плоский угол при вершине 60°. Найти объём пирамиды. 2. Образующая конуса равна 4 см. а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найти объём конуса. 3. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45°, вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения. 4. В цилиндр вписан шар радиуса R. Найти отношение объёмов цилиндра и шара.

Часть 1

1. 1. Объём правильной четырёхугольной пирамиды

   Дано:

   Апофема \( a = 3 \) см.

   Плоский угол при вершине \( \alpha = 60^{\circ} \).

   Найти: \( V \) — объём пирамиды.

   Решение:

   Апофема \( a \) — это высота боковой грани. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды \( h \) и радиусом вписанной окружности \( r \) (радиус основания). В этом треугольнике угол между апофемой и радиусом равен половине плоского угла при вершине, то есть \( \frac{\alpha}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

   Из прямоугольного треугольника:

   \( \cos 30^{\circ} = \frac{a}{r} \) → \( r = \frac{a}{\cos 30^{\circ}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \) см.

   \( \tan 30^{\circ} = \frac{h}{r} \) → \( h = r \tan 30^{\circ} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 \) см.

   Сторона основания \( b = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) см.

   Площадь основания \( S_{осн} = b^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \) см².

   Объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 2 = 32 \) см³.

   Ответ: 32 см³.

2. 2. Объём конуса

   Дано:

   Образующая \( l = 4 \) см.

   Угол при вершине осевого сечения \( \alpha = 90^{\circ} \).

   Найти: \( V \) — объём конуса.

   Решение:

   Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \( l \) и углом \( \alpha \) при вершине.

   Радиус основания конуса \( R \) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного образующей, радиусом и высотой конуса. Угол при вершине этого треугольника равен \( \frac{\alpha}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

   \( \sin 45^{\circ} = \frac{R}{l} \) → \( R = l \sin 45^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

   \( \cos 45^{\circ} = \frac{h}{l} \) → \( h = l \cos 45^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

   Объём конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (8) (2\sqrt{2}) = \frac{16\sqrt{2}}{3} \pi \) см³.

   Ответ: \( \frac{16\sqrt{2}}{3} \pi \) см³.

3. 3. Объём тела вращения

   Дано:

   Прямоугольный треугольник.

   Гипотенуза \( c = 12 \) см.

   Острый угол \( \alpha = 45^{\circ} \).

   Вращение вокруг катета.

   Найти: \( V \) — объём тела вращения.

   Решение:

   Так как острый угол равен \( 45^{\circ} \), то второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, треугольник равнобедренный, и катеты равны.

   Пусть \( a \) и \( b \) — катеты.

   \( a = c \sin 45^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \) см.

   \( b = c \cos 45^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \) см.

   Тело вращения — конус. Если вращение происходит вокруг катета \( a \), то \( h = a = 6\sqrt{2} \) см, а радиус основания \( R = b = 6\sqrt{2} \) см.

   Объём конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{2})^2 (6\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (72) (6\sqrt{2}) = 144\sqrt{2} \pi \) см³.

   Ответ: \( 144\sqrt{2} \pi \) см³.

4. 4. Отношение объёмов цилиндра и шара

   Дано:

   Цилиндр, вписанный шар радиуса \( R \).

   Найти: \( \frac{V_{цилиндра}}{V_{шара}} \).

   Решение:

   Если шар вписан в цилиндр, то радиус основания цилиндра равен радиусу шара (\( R_{цилиндра} = R \)), а высота цилиндра равна диаметру шара (\( h_{цилиндра} = 2R \)).

   Объём цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi R_{цилиндра}^2 h_{цилиндра} = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3 \).

   Объём шара: \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

   Отношение объёмов: \( \frac{V_{цилиндра}}{V_{шара}} = \frac{2\pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \).

   Ответ: \( \frac{3}{2} \).