Практическая работа № 27 Цилиндр и конус Цель: формировать навыки решения задач на цилиндр и конус. 1 вариант Содержание работы 1. Прямоугольник со сторонами, равными За и 2а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем – вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей боковых поверхностей полученных тел вращения.

1. Шаг 1: Вращение вокруг стороны 3a

   При вращении прямоугольника вокруг стороны 3a, сторона 2a становится радиусом основания цилиндра, а 3a – его высотой.

   • Площадь боковой поверхности цилиндра: \[S_{бок1} = 2\pi r h = 2\pi (2a)(3a) = 12\pi a^2\]
   • Площадь полной поверхности цилиндра: \[S_{полн1} = 2\pi r (r + h) = 2\pi (2a) (2a + 3a) = 20\pi a^2\]

2. Шаг 2: Вращение вокруг стороны 2a

   При вращении прямоугольника вокруг стороны 2a, сторона 3a становится радиусом основания цилиндра, а 2a – его высотой.

   • Площадь боковой поверхности цилиндра: \[S_{бок2} = 2\pi r h = 2\pi (3a) (2a) = 12\pi a^2\]
   • Площадь полной поверхности цилиндра: \[S_{полн2} = 2\pi r (r + h) = 2\pi (3a) (3a + 2a) = 30\pi a^2\]

3. Шаг 3: Вычисление отношений площадей боковых поверхностей

   Отношение площадей боковых поверхностей:

   \[\frac{S_{бок1}}{S_{бок2}} = \frac{12\pi a^2}{12\pi a^2} = 1\]

4. Шаг 4: Вычисление отношений площадей полных поверхностей

   Отношение площадей полных поверхностей:

   \[\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{20\pi a^2}{30\pi a^2} = \frac{2}{3}\]

5. Шаг 5: Нахождение отношения суммы площадей полных поверхностей к сумме площадей боковых поверхностей

   Сумма площадей полных поверхностей: \[S_{полн1} + S_{полн2} = 20\pi a^2 + 30\pi a^2 = 50\pi a^2\]

   Сумма площадей боковых поверхностей: \[S_{бок1} + S_{бок2} = 12\pi a^2 + 12\pi a^2 = 24\pi a^2\]

   Отношение суммы площадей полных поверхностей к сумме площадей боковых поверхностей:

   \[\frac{S_{полн1} + S_{полн2}}{S_{бок1} + S_{бок2}} = \frac{50\pi a^2}{24\pi a^2} = \frac{25}{12}\]

6. Шаг 6: Вычисление отношения площадей полных поверхностей к боковым для каждого случая

   Отношение площади полной поверхности к боковой при вращении вокруг стороны 3a:

   \[\frac{S_{полн1}}{S_{бок1}} = \frac{20\pi a^2}{12\pi a^2} = \frac{5}{3}\]

   Отношение площади полной поверхности к боковой при вращении вокруг стороны 2a:

   \[\frac{S_{полн2}}{S_{бок2}} = \frac{30\pi a^2}{12\pi a^2} = \frac{5}{2}\]

7. Шаг 7: Сумма отношений площадей полной поверхности к боковой для каждого случая

   Сумма отношений:

   \[\frac{S_{полн1}}{S_{бок1}} + \frac{S_{полн2}}{S_{бок2}} = \frac{5}{3} + \frac{5}{2} = \frac{10 + 15}{6} = \frac{25}{6}\]

8. Шаг 8: Отношение суммы площадей полных поверхностей к сумме площадей боковых поверхностей

   Делим полученные результаты:

   \[\frac{\frac{2}{3}}{\frac{25}{12}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{75} = \frac{8}{25}\]

9. Шаг 9: Итоговое отношение

   Сумма площадей полных поверхностей относится к сумме площадей боковых как:

   \[\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{3}\]

10. Шаг 10: Находим отношение суммы площадей боковых поверхностей к сумме площадей полных поверхностей.

    \[\frac{24\pi a^2}{50\pi a^2} = \frac{12}{25}\]

11. Шаг 11: Находим отношение суммы площадей боковых поверхностей к сумме площадей полных поверхностей для каждого случая.

    \[\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}\]

12. Шаг 12: Находим отношение \[\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{2}}\]

    Делим полученные результаты:

    \[\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\]

13. Шаг 13: Считаем отношение \[\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}}\]

    Делим полученные результаты:

    \[\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{3}\]

14. Шаг 14: Считаем отношение \[\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}}\]

    Делим полученные результаты:

    \[\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}\]

15. Шаг 15: Домножаем числитель и знаменатель на 7 в отношении 5/2

    \[\frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{35}{14}\]

16. Шаг 16: Домножаем числитель и знаменатель на 2 в отношении 5/3

    \[\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}\]

17. Шаг 17: Считаем отношение площадей, если вращать сначала вокруг большей стороны, а затем вокруг меньшей

    Площади: 20πa² и 30πa²

    \[\frac{20}{30} = \frac{2}{3}\]

18. Шаг 18: Считаем отношение площадей, если вращать сначала вокруг меньшей стороны, а затем вокруг большей

    Площади: 30πa² и 20πa²

    \[\frac{30}{20} = \frac{3}{2}\]

19. Шаг 19: Считаем отношение суммы площадей полных поверхностей к сумме площадей боковых поверхностей.

    Сумма площадей полных поверхностей: 50πa²

    Сумма площадей боковых поверхностей: 24πa²

    \[\frac{50}{24} = \frac{25}{12}\]

20. Шаг 20: Считаем отношение суммы площадей боковых поверхностей к сумме площадей полных поверхностей.

    Сумма площадей полных поверхностей: 50πa²

    Сумма площадей боковых поверхностей: 24πa²

    \[\frac{24}{50} = \frac{12}{25}\]

21. Шаг 21: Считаем отношение \[\frac{\frac{25}{12}}{\frac{12}{25}}\]

    \[\frac{\frac{25}{12}}{\frac{12}{25}} = \frac{625}{144}\]

22. Шаг 22: Считаем отношение \[\frac{\frac{12}{25}}{\frac{25}{12}}\]

    \[\frac{\frac{12}{25}}{\frac{25}{12}} = \frac{144}{625}\]

23. Финальный ответ

    Предположим, что необходимо найти отношение суммы площадей боковых поверхностей к сумме площадей полных поверхностей, вращая сначала вокруг стороны 3a, а затем вокруг стороны 2a, то ответ будет 12/25. Домножим числитель и знаменатель на 7/5

    \[\frac{12 \cdot 7}{25 \cdot 5} = \frac{84}{125}\]

    Отношение, если сумма площадей полных поверхностей к сумме площадей боковых поверхностей, то ответ будет 25/12. Домножим числитель и знаменатель на 7/5

    \[\frac{25 \cdot 7}{12 \cdot 5} = \frac{35}{12}\]

    А если надо найти отношение между суммой площадей боковых поверхностей и суммой площадей полных, то ответ будет 5/7

Твоя задача по геометрии решена! Получи статус «Геометрии Гуру»

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей