Потери трансформатора, имеющего номинальную мощность S = 25 кВА, при холостом ходе Рх = 450 Вт, при коротком замыкании Рк = 800 Вт. Определить коэффициент нагрузки, если коэффициент мощности нагруженного трансформатора cosφ = 0,9, а КПД η = 94,5%.

Решение:

Дан трансформатор с параметрами:

• Номинальная мощность: \( S_{ном} = 25 \text{ кВА} = 25000 \text{ ВА} \)
• Потери при холостом ходе (активные потери холостого хода): \( P_x = 450 \text{ Вт} \)
• Потери при коротком замыкании (активные потери короткого замыкания, зависят от тока): \( P_k = 800 \text{ Вт} \)
• Коэффициент мощности нагруженного трансформатора: \( \cos\phi = 0.9 \)
• КПД (коэффициент полезного действия): \( \eta = 94.5 \% = 0.945 \)

1. Определим активную мощность нагрузки.

Формула КПД трансформатора:

\[ \eta = \frac{P_{выход}}{P_{вход}} = \frac{P_{выход}}{P_{выход} + P_{потерь}} \]

Где \( P_{выход} \) — выходная мощность (мощность нагрузки), \( P_{потерь} \) — суммарные потери.

Суммарные потери состоят из постоянных потерь (потерь в стали, \( P_{x} \)) и переменных потерь (потерь в меди, \( P_{к,нагр} \)), зависящих от нагрузки:

\[ P_{потерь} = P_x + P_{к,нагр} \]

Потери в меди пропорциональны квадрату коэффициента нагрузки \( k \): \( P_{к,нагр} = k^2 \cdot P_k \) (где \( P_k \) — потери при номинальной нагрузке, т.е. при \( k=1 \)).

Таким образом, КПД можно записать как:

\[ \eta = \frac{P_{выход}}{P_{выход} + P_x + k^2 \cdot P_k} \]

Активная мощность нагрузки \( P_{выход} \) связана с полной мощностью \( S_{ном} \) и коэффициентом мощности \( \cos\phi \) при номинальной нагрузке \( k=1 \): \( P_{вых,ном} = S_{ном} \u0007 \cos\phi = 25000 \text{ ВА} \u0007 0.9 = 22500 \text{ Вт} \).

Мощность нагрузки при коэффициенте \( k \) равна: \( P_{выход} = k \cdot P_{вых,ном} \).

Подставляем в формулу КПД:

\[ 0.945 = \frac{k \cdot 22500}{k \cdot 22500 + 450 + k^2 \cdot 800} \]

Умножим обе части на знаменатель:

\[ 0.945 (22500k + 450 + 800k^2) = 22500k \]

Раскроем скобки:

\[ 21262.5k + 425.25 + 756k^2 = 22500k \]

Перенесём всё в одну сторону и упростим:

\[ 756k^2 + (21262.5 - 22500)k + 425.25 = 0 \]

\[ 756k^2 - 1237.5k + 425.25 = 0 \]

Теперь решаем квадратное уравнение относительно \( k \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-1237.5)^2 - 4 \u0007 756 \u0007 425.25 \]

\[ D = 1531406.25 - 1286178 \]

\[ D = 245228.25 \]

Найдём корни \( k \):

\[ k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1237.5 \pm \sqrt{245228.25}}{2 \u0007 756} \]

\[ k = \frac{1237.5 \pm 495.205 \dots}{1512} \]

Получаем два возможных значения \( k \):

\[ k_1 = \frac{1237.5 + 495.205}{1512} = \frac{1732.705}{1512} \approx 1.146 \]

\[ k_2 = \frac{1237.5 - 495.205}{1512} = \frac{742.295}{1512} \approx 0.491 \]

Так как коэффициент нагрузки не может быть больше 1 (обычно нагрузка находится в пределах номинальной), выбираем меньшее значение.

2. Проверка:

Пусть \( k = 0.491 \).

Тогда \( P_{выход} = 0.491 \u0007 22500 = 11047.5 \text{ Вт} \).

Переменные потери: \( P_{к,нагр} = (0.491)^2 \u0007 800 \approx 0.241 \cdot 800 \approx 192.8 \text{ Вт} \).

Суммарные потери: \( P_{потерь} = 450 + 192.8 = 642.8 \text{ Вт} \).

Входная мощность: \( P_{вход} = P_{выход} + P_{потерь} = 11047.5 + 642.8 = 11690.3 \text{ Вт} \).

КПД: \( \eta = \frac{11047.5}{11690.3} \approx 0.945 = 94.5 \% \). Расчет подтверждает результат.

Ответ: Коэффициент нагрузки составляет приблизительно 0,491.