Потери трансформатора, имеющего номинальную мощность S = 25 кВ·А, при холостом ходе P_{x} = 450 Вт, при коротком замыкании P_{К} = 800 Вт. Определить коэффициент нагрузки, если коэффициент мощности трансформатора cosφ = 0,9, а КПД η = 94,5%.

Дано:

Номинальная мощность \( S = 25 \text{ кВ·А} = 25000 \text{ В·А} \)

Потери холостого хода \( P_{х} = 450 \text{ Вт} \)

Потери короткого замыкания \( P_{К} = 800 \text{ Вт} \)

Коэффициент мощности \( \cos \varphi = 0,9 \)

КПД \( \eta = 94,5\% = 0,945 \)

Найти:

Коэффициент нагрузки \( k \)

Решение:

КПД трансформатора определяется формулой:

\[ \eta = \frac{P_{вых}}{P_{вых} + P_{потерь}} \]

где \( P_{вых} \) — выходная мощность, \( P_{потерь} \) — суммарные потери.

Суммарные потери складываются из потерь в стали (холостой ход) и потерь в меди (короткое замыкание):

\[ P_{потерь} = P_{х} + P_{к.з.} \]

Потери в меди зависят от нагрузки и определяются как:

\[ P_{к.з.} = k^2 \cdot P_{К} \]

где \( k \) — коэффициент нагрузки.

Подставим в формулу КПД:

\[ \eta = \frac{P_{вых}}{P_{вых} + P_{х} + k^2 P_{К}} \]

Выходную мощность \( P_{вых} \) можно выразить через номинальную мощность \( S \) и коэффициент мощности \( \cos \varphi \):

\[ P_{вых} = k \cdot S \cdot \cos \varphi \]

У нас есть номинальная мощность \( S = 25000 \text{ В·А} \) и \( \cos \varphi = 0,9 \), но нам нужно найти коэффициент нагрузки \( k \).

Сначала найдем выходную мощность при полной нагрузке \( k=1 \):

\[ P_{вых.ном} = S \cdot \cos \varphi = 25000 \text{ В·А} \cdot 0,9 = 22500 \text{ Вт} \]

Теперь выразим \( P_{вых} \) через \( P_{вых.ном} \) и \( k \):

\[ P_{вых} = k \cdot P_{вых.ном} = k \cdot 22500 \text{ Вт} \]

Подставим всё в формулу КПД:

\[ 0,945 = \frac{k \cdot 22500}{k \cdot 22500 + 450 + k^2 \cdot 800} \]

\[ 0,945 (22500k + 450 + 800k^2) = 22500k \]

\[ 21262,5k + 425,25 + 756k^2 = 22500k \]

\[ 756k^2 + (21262,5 - 22500)k + 425,25 = 0 \]

\[ 756k^2 - 1237,5k + 425,25 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( k \). Найдем дискриминант:

\[ D = (-1237,5)^2 - 4 \cdot 756 \cdot 425,25 = 1531406,25 - 1286574 = 244832,25 \]

Найдем корни:

\[ k_{1,2} = \frac{1237,5 \pm \sqrt{244832,25}}{2 \cdot 756} = \frac{1237,5 \pm 494,805}{1512} \]

\[ k_1 = \frac{1237,5 + 494,805}{1512} = \frac{1732,305}{1512} \approx 1,145 \]

\[ k_2 = \frac{1237,5 - 494,805}{1512} = \frac{742,695}{1512} \approx 0,491 \]

Так как коэффициент нагрузки не может быть больше 1 (иначе это будет перегрузка, которая не соответствует условию задания), выбираем меньший корень.

Ответ: Коэффициент нагрузки приблизительно равен 0,491.