Постройте в одной системе координат графики функций y = √x и y = x.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Построение графика функции y = √x
   Эта функция является частью параболы y² = x, лежащей в верхней полуплоскости. Она проходит через точки (0,0), (1,1), (4,2).
2. Шаг 2: Построение графика функции y = x
   Это прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) с угловым коэффициентом 1. Она проходит через точки (0,0), (1,1), (2,2).
3. Шаг 3: Построение графиков в одной системе координат
   На одном графике будут изображены обе функции.

а) Укажите координаты их общих точек.

Чтобы найти общие точки, приравниваем уравнения функций:

\[ \sqrt{x} = x \]

Возведем обе части в квадрат:

\[ x = x^2 \]

\[ x^2 - x = 0 \]

\[ x(x - 1) = 0 \]

Отсюда получаем два решения:

\[ x_1 = 0 \]

\[ x_2 = 1 \]

Подставляем найденные значения x в любое из исходных уравнений (например, y = x):

При x = 0, y = 0. Первая точка пересечения: (0, 0).

При x = 1, y = 1. Вторая точка пересечения: (1, 1).

Ответ: Общие точки графиков: (0, 0) и (1, 1).

б) При каких значениях х график функции y = √x расположен выше прямой y = x и при каких значениях х он расположен ниже этой прямой?

Сравниваем значения функций:

Когда y = √x расположен выше y = x:

Это происходит, когда upulous{ \sqrt{x} > x }

Решая это неравенство (как показано в пункте а, учитывая, что x ≥ 0), получаем, что upulous{ 0 < x < 1 }

Когда y = √x расположен ниже y = x:

Это происходит, когда upulous{ \sqrt{x} < x }

Решая это неравенство, получаем, что upulous{ x > 1 }

Ответ: График функции y = √x расположен выше прямой y = x при 0 < x < 1. График функции y = √x расположен ниже прямой y = x при x > 1.