6.54 Постройте треугольник АВС с вершинами А(3; 5), B(3; −2), C(-5; -2). a) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки. б) Соедините отрезками середины К, М и № сторон АС, ВС и АВ. Проверьте, что длины сторон треугольника КММ пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

a) Треугольник ABC является прямоугольным, так как угол B прямой. Перпендикулярные отрезки: AB и BC. б) Пусть K – середина AC, M – середина BC, N – середина AB. Координаты точек: K((3-5)/2; (5-2)/2) = K(-1; 1.5), M((3-5)/2; (-2-2)/2) = M(-1; -2), N((3+3)/2; (5-2)/2) = N(3; 1.5) Длины сторон треугольника ABC: AB = |5 - (-2)| = 7, BC = |3 - (-5)| = 8, AC = sqrt((3 - (-5))^2 + (5 - (-2))^2) = sqrt(64 + 49) = sqrt(113) Длины сторон треугольника KMN: KM = |1.5 - (-2)| = 3.5, MN = |3 - (-1)| = 4, KN = sqrt((-1-3)^2 + (1.5-1.5)^2) = sqrt(16) = 4 KM = 3.5 = 1/2 AB; MN = 4 = 1/2 BC; KN = 4 = 1/2 AC. Стороны треугольника KMN пропорциональны сторонам треугольника ABC с коэффициентом 1/2.