1. Постройте график линейной функции у = 1/2x + 1. С помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-4; 6]; б) значения переменной х, при которых у > 0. 2. а) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения -4x – 3y + 12 = 0 с осями координат. б) Определите, принадлежит ли графику данного уравнения точка D(-0,5; 4 2/3). 3. а) Задайте линейную функцию у = kx формулой, если известно, что её график параллелен прямой -5х y + 4 = 0. б) Определите, возрастает или убывает заданная вами линейная функция. 4. При каком значении р решением уравнения рх - 3ру + 6 = 0 является пара чисел (1,5; -1,5)? 5. В ящик положили трёх- и пятикилограммовые гантели общей массой 75 кг. Сколько всего гантелей положили в ящик, если известно, что трёхкилограммовых гантелей было меньше, чем пятикилограммовых?

1. Постройте график линейной функции $$y = -\frac{1}{2}x + 1$$. С помощью графика найдите:

а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $$\left[-4; 6\right]$$;

Построим график функции $$y = -\frac{1}{2}x + 1$$.

На отрезке $$\left[-4; 6\right]$$ наименьшее значение функции равно $$-2$$ (при $$x = 6$$), а наибольшее значение функции равно $$3$$ (при $$x = -4$$).

б) значения переменной $$x$$, при которых $$y > 0$$.

Из графика видно, что $$y > 0$$ при $$x < 2$$.

2. а) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения $$-4x – 3y + 12 = 0$$ с осями координат.

Чтобы найти точки пересечения с осью $$x$$, нужно положить $$y = 0$$. Тогда уравнение примет вид:

$$-4x + 12 = 0$$

$$4x = 12$$

$$x = 3$$

Точка пересечения с осью $$x$$: $$(3; 0)$$.

Чтобы найти точки пересечения с осью $$y$$, нужно положить $$x = 0$$. Тогда уравнение примет вид:

$$-3y + 12 = 0$$

$$3y = 12$$

$$y = 4$$

Точка пересечения с осью $$y$$: $$(0; 4)$$.

б) Определите, принадлежит ли графику данного уравнения точка $$D\left(-0,5; 4\frac{2}{3}\right)$$.

Подставим координаты точки $$D$$ в уравнение $$-4x – 3y + 12 = 0$$:

$$-4 \cdot (-0,5) – 3 \cdot 4\frac{2}{3} + 12 = 0$$

$$2 – 3 \cdot \frac{14}{3} + 12 = 0$$

$$2 – 14 + 12 = 0$$

$$0 = 0$$

Равенство выполняется, следовательно, точка $$D$$ принадлежит графику данного уравнения.

3. а) Задайте линейную функцию $$y = kx$$ формулой, если известно, что её график параллелен прямой $$-5x - y + 4 = 0$$.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Приведем уравнение прямой $$-5x - y + 4 = 0$$ к виду $$y = kx + b$$:

$$y = -5x + 4$$

Угловой коэффициент этой прямой равен $$-5$$. Следовательно, $$k = -5$$, и линейная функция имеет вид:

$$y = -5x$$

б) Определите, возрастает или убывает заданная вами линейная функция.

Функция $$y = -5x$$ убывает, так как её угловой коэффициент отрицателен.

4. При каком значении $$p$$ решением уравнения $$px - 3py + 6 = 0$$ является пара чисел $$(1,5; -1,5)$$?

Подставим координаты точки $$(1,5; -1,5)$$ в уравнение $$px - 3py + 6 = 0$$:

$$p \cdot 1,5 - 3 \cdot p \cdot (-1,5) + 6 = 0$$

$$1,5p + 4,5p + 6 = 0$$

$$6p = -6$$

$$p = -1$$

5. В ящик положили трёх- и пятикилограммовые гантели общей массой 75 кг. Сколько всего гантелей положили в ящик, если известно, что трёхкилограммовых гантелей было меньше, чем пятикилограммовых?

Пусть $$x$$ - количество трёхкилограммовых гантелей, а $$y$$ - количество пятикилограммовых гантелей. Тогда можно составить систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 5y = 75 \\ x < y \end{cases}$$

Выразим $$x$$ из первого уравнения:

$$3x = 75 - 5y$$

$$x = 25 - \frac{5}{3}y$$

Так как $$x$$ и $$y$$ должны быть целыми числами, $$y$$ должно быть кратно 3. Возможные значения $$y$$: 3, 6, 9, 12, 15.

Проверим каждое значение:

• Если $$y = 3$$, то $$x = 25 - \frac{5}{3} \cdot 3 = 25 - 5 = 20$$. Но тогда $$x > y$$, что не удовлетворяет условию.
• Если $$y = 6$$, то $$x = 25 - \frac{5}{3} \cdot 6 = 25 - 10 = 15$$. Но тогда $$x > y$$, что не удовлетворяет условию.
• Если $$y = 9$$, то $$x = 25 - \frac{5}{3} \cdot 9 = 25 - 15 = 10$$. В этом случае $$x > y$$, что не удовлетворяет условию.
• Если $$y = 12$$, то $$x = 25 - \frac{5}{3} \cdot 12 = 25 - 20 = 5$$. В этом случае $$x < y$$, что удовлетворяет условию.
• Если $$y = 15$$, то $$x = 25 - \frac{5}{3} \cdot 15 = 25 - 25 = 0$$. В этом случае $$x < y$$, что удовлетворяет условию.

Итак, возможны два варианта:

• $$x = 5$$, $$y = 12$$. Всего гантелей: $$5 + 12 = 17$$.
• $$x = 0$$, $$y = 15$$. Всего гантелей: $$0 + 15 = 15$$.

Ответ: 17 или 15 гантелей.