Постройте график функции y = {-x² - 2x + 2, если x ≥ -3; -x - 2, если x < -3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткое пояснение:

Построение графика:

Часть 1: $$ y = -x^2 - 2x + 2 $$, при $$ x ≥ -3 $$

• Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $$ x^2 $$ отрицательный).
• Найдем вершину параболы: $$ x_в = -b/(2a) = -(-2)/(2*(-1)) = 2/(-2) = -1 $$.
• Подставим $$ x_в = -1 $$ в уравнение функции: $$ y_в = -(-1)^2 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 $$. Вершина находится в точке (-1, 3).
• Найдем значение функции в точке начала интервала, $$ x = -3 $$: $$ y = -(-3)^2 - 2(-3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1 $$. Точка (-3, -1).
• Нанесем на график вершину (-1, 3) и точку (-3, -1). Построим часть параболы, начиная от $$ x = -3 $$ и далее вправо.

Часть 2: $$ y = -x - 2 $$, при $$ x < -3 $$

• Это прямая линия.
• Найдем значение функции в точке, где начинается интервал, но не включая ее. При $$ x = -3 $$: $$ y = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1 $$. Точка (-3, 1) (не включена).
• Возьмем еще одну точку, например, при $$ x = -4 $$: $$ y = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2 $$. Точка (-4, 2).
• Нанесем на график точку (-3, 1) (выколотая) и точку (-4, 2). Построим часть прямой, начиная от $$ x = -3 $$ (не включая) и далее влево.

Определение значений m:

Построим горизонтальную прямую $$ y = m $$ и посмотрим, сколько точек пересечения она имеет с графиком.

• Если $$ m > 3 $$, прямая $$ y=m $$ не пересекает график (0 точек).
• Если $$ m = 3 $$, прямая $$ y=m $$ касается вершины параболы (1 точка).
• Если $$ 1 < m < 3 $$, прямая $$ y=m $$ пересекает параболу в двух точках (2 точки).
• Если $$ m = 1 $$, прямая $$ y=m $$ пересекает параболу в точке (-3, 1) и проходит через выколотую точку на прямой (1 точка).
• Если $$ -1 < m < 1 $$, прямая $$ y=m $$ пересекает параболу в одной точке и прямую в одной точке (2 точки).
• Если $$ m = -1 $$, прямая $$ y=m $$ касается параболы в точке (-3, -1) (1 точка).
• Если $$ m < -1 $$, прямая $$ y=m $$ не пересекает график (0 точек).

Таким образом, прямая $$ y = m $$ имеет с графиком ровно две общие точки, когда $$ 1 < m < 3 $$ или $$ -1 < m < 1 $$.

Ответ: Прямая $$ y = m $$ имеет с графиком ровно две общие точки при $$ m ∈ (-1; 1) ∪ (1; 3) $$.