Постройте график функции y = |x(x + 1) - 6x|. Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Преобразуем функцию:

$$y = |x(x+1) - 6x| = |x^2 + x - 6x| = |x^2 - 5x| = |x(x-5)|$$

Найдем нули функции:

$$x(x-5) = 0$$

$$x_1 = 0; x_2 = 5$$

Найдем вершину параболы $$x^2 - 5x$$:

$$x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$$

$$y_v = 2.5(2.5 - 5) = 2.5 \cdot (-2.5) = -6.25$$

Так как у нас модуль, то вершина параболы отобразится вверх:

$$y_{v \, mod} = |-6.25| = 6.25$$

Теперь можно построить график функции:

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = 0 и m = 6.25.

Ответ: 0; 6,25