Постройте график функции y = |x|x + 2|x| - 3x. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = |x|x + 2|x| - 3x$$.

• Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$y = x^2 + 2x - 3x = x^2 - x$$.
• Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$y = -x^2 - 2x - 3x = -x^2 - 5x$$.

Таким образом, функцию можно записать в виде:

$$y = \begin{cases} x^2 - x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0 \end{cases}$$

Для исследования функции рассмотрим каждый случай отдельно.

• При $$x \geq 0$$, $$y = x^2 - x$$. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-(-1)}{2(1)} = \frac{1}{2}$$, $$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$.

• При $$x < 0$$, $$y = -x^2 - 5x$$. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-(-5)}{2(-1)} = -\frac{5}{2}$$, $$y_v = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = \frac{-25+50}{4} = \frac{25}{4}$$.

Теперь определим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

• Прямая $$y = m$$ пересекает график в двух точках, когда $$m = 0$$ (в точках x = 0 и x = 1) или когда $$m = \frac{25}{4}$$ (в вершине параболы при x < 0).
• Также прямая $$y = m$$ пересекает график в двух точках, когда $$m = -\frac{1}{4}$$ (в вершине параболы при x > 0).

Ответ: $$m = 0, m = \frac{25}{4}, m = -\frac{1}{4}$$.