Постройте график функции y=\begin{cases} -\frac{5}{x}, x \le -1, \\ x^2-4x, x>-1. \end{cases} и определите, при каких значениях с прямая ус будет пересекать построенный график в трех точках.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции

  Задана кусочно-заданная функция:

  • Для x ≤ -1: y = -5/x. Это гипербола.
  • Для x > -1: y = x² - 4x. Это парабола.
• Шаг 2: Исследование гиперболы y = -5/x при x ≤ -1

  Определим поведение функции на заданном интервале.

  • При x = -1: y = -5/(-1) = 5.
  • При x → -∞: y → 0.
  • Функция убывает на интервале (-∞; -1].
• Шаг 3: Исследование параболы y = x² - 4x при x > -1

  Определим ключевые точки и поведение функции.

  • Вершина параболы: x_в = -b / 2a = 4 / 2 = 2, y_в = 2² - 4 × 2 = 4 - 8 = -4.
  • При x = -1: y = (-1)² - 4 × (-1) = 1 + 4 = 5.
  • Нули параболы: x² - 4x = 0 → x(x - 4) = 0, x₁ = 0, x₂ = 4.
  • Парабола убывает на интервале (-1; 2] и возрастает на интервале [2; +∞).
• Шаг 4: Построение графика

  Используем Chart.js для построения графика функции.

• Шаг 5: Определение значений c

  Прямая y = c должна пересекать график в трех точках.

  • При c = 5 прямая касается графика в точке x = -1 и пересекает параболу еще в одной точке. Это не три точки.
  • При c = -4 прямая касается параболы в вершине и пересекает гиперболу в одной точке. Это не три точки.
  • Чтобы было три точки пересечения, прямая должна проходить выше вершины параболы (-4) и ниже значения y при x = -1 (5).
• Шаг 6: Запись ответа

  Таким образом, c ∈ (-4; 5).