Постройте график функции y=x²+3x-3|x+2|+2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки

Решение:

Рассмотрим функцию y=x²+3x-3|x+2|+2.

Раскроем модуль:

• Если x+2 ≥ 0, то есть x ≥ -2, то |x+2| = x+2, и функция примет вид: y = x² + 3x - 3(x+2) + 2 = x² + 3x - 3x - 6 + 2 = x² - 4.
• Если x+2 < 0, то есть x < -2, то |x+2| = -(x+2), и функция примет вид: y = x² + 3x + 3(x+2) + 2 = x² + 3x + 3x + 6 + 2 = x² + 6x + 8.

Получаем кусочно-заданную функцию:

Теперь построим график этой функции.

• Для x ≥ -2 графиком является парабола y = x² - 4. Вершина параболы находится в точке (0, -4).
• Для x < -2 графиком является парабола y = x² + 6x + 8. Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -6/(2*1) = -3. y(-3) = (-3)² + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1.

На x = -2 функция y = x² - 4 принимает значение (-2)² - 4 = 4 - 4 = 0.

На x = -2 функция y = x² + 6x + 8 принимает значение (-2)² + 6(-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0.

То есть в точке x = -2 графики обеих парабол стыкуются.

Теперь рассмотрим прямую y = m и найдем, при каких значениях m она имеет с графиком ровно три общие точки.

Три точки пересечения будут в следующих случаях:

• Прямая проходит через вершину параболы y = x² + 6x + 8, то есть m = -1.
• Прямая проходит через точку (0, -4).

То есть m = -4

Прямая y = -1 имеет три точки пересечения с графиком, так как она проходит через вершину параболы y = x² + 6x + 8 и пересекает параболу y = x² - 4 в двух точках.

Прямая y = 0 имеет две точки пересечения с графиком.

Прямая y = -4 имеет три точки пересечения с графиком, так как она проходит через вершину параболы y = x² - 4 и пересекает параболу y = x² + 6x + 8 в двух точках.

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки при m = -1 и m = -4.

Ответ: m = -4; m = -1