Постройте график функции y = |x|·|x + |x|| − 6x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Так как \(|x|+|x|=2|x|\), функция имеет вид:

\[y=2x|x|^2-6x=2x^3-6x=2x(x^2-3).\]

График функции задаётся кубической функцией \(y=2x^3-6x\). Для определения числа пересечений с прямой \(y=m\) рассмотрим экстремумы:

\[y'=6x^2-6=6(x^2-1).\]

Критические точки: \(x=-1\) и \(x=1\).

\[y(-1)=4,\qquad y(1)=-4.\]

Кубический график имеет ровно две общие точки с горизонтальной прямой только при касании в точке экстремума, то есть при \(m=4\) или \(m=-4\).

Для построения удобно отметить точки \((-\sqrt3;0)\), \((0;0)\), \((\sqrt3;0)\), \((-1;4)\), \((1;-4)\).

Ответ: \(m=-4\) или \(m=4\).