Постройте график функции y=x²-5|x|-x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Решение:

Заданная функция: \( y = x^2 - 5|x| - x \).

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

1. Случай 1: \( x \ge 0 \).
• В этом случае \( |x| = x \). Функция принимает вид: \( y = x^2 - 5x - x = x^2 - 6x \).
• Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \).
• Значение \( y \) в вершине: \( y = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9 \). Точка вершины: \( (3, -9) \).
• При \( x = 0 \), \( y = 0 \).
2. Случай 2: \( x < 0 \).
• В этом случае \( |x| = -x \). Функция принимает вид: \( y = x^2 - 5(-x) - x = x^2 + 5x - x = x^2 + 4x \).
• Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \).
• Значение \( y \) в вершине: \( y = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4 \). Точка вершины: \( (-2, -4) \).
• При \( x = 0 \), \( y = 0 \).

График функции:

График состоит из двух частей парабол. Часть параболы \( y = x^2 - 6x \) для \( x \ge 0 \) и часть параболы \( y = x^2 + 4x \) для \( x < 0 \). Обе части пересекаются в точке \( (0, 0) \).

Анализ числа пересечений с прямой \( y = m \):

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает построенный график в 1, 2 или 3 точках.

• Если \( m > 0 \), прямая пересекает график в 2 точках (по одной в каждой ветви параболы).
• Если \( m = 0 \), прямая проходит через начало координат \( (0, 0) \) и пересекает график в 1 точке.
• Если \( -4 < m < 0 \), прямая пересекает график в 2 точках (одна слева от оси \( y \) и одна справа).
• Если \( m = -4 \), прямая касается вершины левой параболы \( (-2, -4) \) и пересекает правую ветвь справа от оси \( y \). Всего 2 точки.
• Если \( -9 < m < -4 \), прямая пересекает график в 4 точках (по две в каждой ветви параболы).
• Если \( m = -9 \), прямая касается вершины правой параболы \( (3, -9) \) и пересекает левую ветвь слева от оси \( y \). Всего 2 точки.
• Если \( m < -9 \), прямая не пересекает график.

Нам нужны случаи, когда количество точек пересечения равно 1, 2 или 3.

1 точка: \( m = 0 \).

2 точки: \( m > 0 \) или \( -4 \le m < 0 \) или \( m = -9 \).

3 точки: таких случаев нет, поскольку при \( m = -4 \) и \( m = -9 \) получается 2 точки, а при \( -9 < m < -4 \) — 4 точки.

Уточнение: Вопрос ставит условие «не менее одной, но не более трёх общих точек». Это означает, что нас интересуют случаи с 1, 2 или 3 точками пересечения.

• 1 точка: \( m = 0 \).
• 2 точки: \( m > 0 \), \( -4 \le m < 0 \), \( m = -9 \).
• 3 точки: нет.

Объединяя все случаи, где количество точек от 1 до 3:

• \( m = 0 \) (1 точка)
• \( -4 \le m < 0 \) (2 точки)
• \( m = -9 \) (2 точки)
• \( m > 0 \) (2 точки)

Таким образом, нам нужны значения \( m \) из следующих интервалов:

• \( m = 0 \)
• \( m = -9 \)
• \( m > 0 \)
• \( -4 \le m < 0 \)

Эти интервалы объединяются в: \( m > -4 \) и \( m = -9 \).

Ответ: m \( > -4 \) и \( m = -9 \).