Постройте график функции y = { x²+4x+4, если x≥-4, 16/x, если x<-4. И определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Построение графика функции:

Функция состоит из двух частей:

1. y = x²+4x+4 при x≥-4: Это часть параболы. Преобразуем уравнение: y = (x+2)². Вершина параболы находится в точке (-2, 0). При x = -4, y = (-4+2)² = (-2)² = 4. Таким образом, эта часть графика начинается из точки (-4, 4) и идет вверх, проходя через вершину (-2, 0).
2. y = 16/x при x<-4: Это часть гиперболы. При x = -4, y = 16/(-4) = -4. Эта часть графика начинается из точки (-4, -4) и идет вниз в третьем квадранте.

Определение значений m:

Прямая y=m является горизонтальной линией. Мы ищем, при каких значениях m эта линия пересекает график функции один или два раза.

1. Одна точка пересечения:
• Если m = 0, прямая y=0 пересекает график в одной точке (вершина параболы).
• Если m > 4, прямая y=m пересекает только первую часть графика (параболу) в одной точке.
• Если m < -4, прямая y=m пересекает только вторую часть графика (гиперболу) в одной точке.
2. Две точки пересечения:
• Если 0 < m < 4, прямая y=m пересекает график в двух точках (первая часть графика - парабола).
• Если -4 < m < 0, прямая y=m пересекает график в двух точках (оба графика).
3. Нуль точек пересечения:
• Если m = 4, прямая y=4 пересекает график в одной точке (-4, 4).
• Если m = -4, прямая y=-4 пересекает график в одной точке (-4, -4).

Вывод:

• Одна точка пересечения: m ≤ 0 или m > 4.
• Две точки пересечения: 0 < m < 4 или -4 < m < 0.