Постройте график функции y = {x²+2x+3, если x≥ -3, x+9, при x < -3, Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Данная функция состоит из двух частей:

1. Парабола \( y = x^2 + 2x + 3 \) при \( x \ge -3 \).
2. Прямая \( y = x + 9 \) при \( x < -3 \).

1. График параболы:

Найдем вершину параболы \( y = x^2 + 2x + 3 \). Абсцисса вершины \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \). Вершина находится в области определения \( x \ge -3 \).

Значение функции в вершине: \( y_в = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \). Вершина параболы: \( (-1, 2) \).

Найдем значение функции на границе области определения, при \( x = -3 \): \( y = (-3)^2 + 2(-3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 \). Точка \( (-3, 6) \).

2. График прямой:

Прямая \( y = x + 9 \) при \( x < -3 \).

Найдем значение функции на границе области определения, при \( x = -3 \) (эта точка не включается в график): \( y = -3 + 9 = 6 \). Точка \( (-3, 6) \) — это