Постройте график функции y = { x² + 2x + 3, если x ≥ −3; x + 9, если x < −3 }, и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для \(x\ge -3\) преобразуем выражение:

\[y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2.\]

Это часть параболы с вершиной \((-1;2)\), направленной вверх, начиная с точки \((-3;6)\), которая принадлежит графику.

Для \(x<-3\) имеем прямую \(y=x+9\). При \(x\to-3\) значение \(y\to6\), но точка \((-3;6)\) для этой части не принадлежит графику. Она уже принадлежит параболе.

Пересечения с прямой \(y=m\) найдём по частям.

На параболе:

\[(x+1)^2+2=m.\]

Если \(2\le m<6\), прямая пересекает параболу в двух точках. При \(m=6\) одна из точек имеет абсциссу \(x=-3\), а вторая — \(x=1\), поэтому пересечений с параболой также два.

На линейной части при \(x<-3\):

\[x+9=m \Rightarrow x=m-9.\]

Условие \(x<-3\) даёт \(m<6\). Значит, при \(m<6\) прямая имеет ещё одно пересечение с линейной частью.

Чтобы общее число пересечений было равно двум, учитываем:

• при \(m<2\) есть одно пересечение с линейной частью;
• при \(m=2\) есть одно пересечение с линейной частью и касание параболы в вершине — всего две точки;
• при \(2
• при \(m=6\) есть два пересечения с параболой, а линейная часть точки с \(x<-3\) не даёт;
• при \(m>6\) есть два пересечения с параболой.

Ответ: \(m=2\) или \(m\ge6\).

График состоит из луча прямой \(y=x+9\) при \(x<-3\) и части параболы \(y=(x+1)^2+2\) при \(x\ge-3\).