Постройте график функции y = {x^2+6x+7 при x≥-4, x+10 при x<-4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком две общие точки.

Решение:

Построим график заданной кусочно-заданной функции.

1. Для \( x \ge -4 \): \( y = x^2 + 6x + 7 \)

Это парабола. Найдем вершину:

\( x_в = -b/(2a) = -6/(2 · 1) = -3 \).

\( y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \).

Вершина параболы: \( (-3, -2) \).

Найдем значение функции на границе интервала \( x = -4 \):

\( y(-4) = (-4)^2 + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1 \).

Таким образом, первая часть графика — ветвь параболы с вершиной в \( (-3, -2) \), проходящая через точку \( (-4, -1) \) и далее вверх.

2. Для \( x < -4 \): \( y = x + 10 \)

Это прямая. Найдем значение функции на границе интервала \( x = -4 \):

\( y(-4) = -4 + 10 = 6 \).

При \( x \to -4 \) слева, \( y \to 6 \). Точка \( (-4, 6) \) является граничной, но не включается в график.

График этой части — луч, начинающийся из точки \( (-4, 6) \) (не включая ее) и идущий влево вниз.

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) (горизонтальная линия) пересекает график в двух точках.

Рассмотрим значения \( y \) на графике:

• Нижняя точка параболы — вершина \( (-3, -2) \).
• Граница первой части графика (включая точку): \( (-4, -1) \).
• Граница второй части графика (не включая точку): \( (-4, 6) \).

Чтобы получить две общие точки, горизонтальная линия \( y = m \) должна пересекать:

1. Ветвь параболы (выше вершины) и луч (ниже точки \( (-4, 6) \)).

Начало луча находится в точке \( y = 6 \) (не включая). Значит, \( m < 6 \).

Вершина параболы — \( y = -2 \).

Если \( m > -2 \) и \( m < -1 \), прямая пересекает параболу в двух точках.

Если \( m = -1 \), прямая пересекает параболу в одной точке \( (-4, -1) \) и луч в одной точке \( (-4, 5) \) (но это не происходит, так как \( y=m \) пересечет луч в точке \( (-4, m) \) если \( m < 6 \), и только одну точку для параболы).

Если \( m \) находится между вершиной параболы \( y = -2 \) и граничной точкой параболы \( y = -1 \), то есть \( -2 < m < -1 \), прямая \( y=m \) пересекает параболу в двух точках.

Если \( m \) находится между граничной точкой параболы \( y=-1 \) и началом луча \( y=6 \), то есть \( -1 < m < 6 \), прямая \( y=m \) пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке.

Таким образом, чтобы прямая \( y=m \) имела ровно две общие точки с графиком, \( m \) должно быть в интервале, где одна точка будет на параболе, а вторая — на луче, или обе на параболе, но такая ситуация не возможна для двух точек.

Рассмотрим внимательно: парабола имеет ветви вверх, луч идет вниз влево. У параболы минимум \( y = -2 \). Точка \( (-4, -1) \) на параболе. Точка \( (-4, 6) \) — начало луча (выколотая).

Если \( m \) находится между \( -2 \) (вершина параболы) и \( -1 \) (значение параболы при \( x=-4 \)), то есть \( -2 < m < -1 \), прямая \( y=m \) пересекает параболу в двух точках.

Если \( m \) находится между \( -1 \) (значение параболы при \( x=-4 \)) и \( 6 \) (начало луча), то есть \( -1 < m < 6 \), прямая \( y=m \) пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Это дает три точки пересечения.

Нам нужно ровно две точки. Это происходит, когда \( m \) больше вершины параболы \( (-2) \) и меньше значения на границе \( (-1) \), т.е. \( -2 < m < -1 \).

Или когда \( m \) больше значения на границе \( (-1) \) и меньше начала луча \( (6) \), но это дает 3 точки.

Давайте пересмотрим. Парабола \( y = x^2+6x+7 \) для \( x \ge -4 \). Вершина \( (-3, -2) \). В точке \( x=-4 \) значение \( y=-1 \). Таким образом, для \( x ≥ -4 \) функция принимает значения \( y ≥ -2 \).

Прямая \( y = x+10 \) для \( x < -4 \). В точке \( x=-4 \) значение \( y=6 \). Для \( x < -4 \) функция принимает значения \( y < 6 \).

График состоит из:

• Ветви параболы, начинающейся в точке \( (-4, -1) \) (включительно), и идущей вверх, с минимумом в \( (-3, -2) \).
• Луча, начинающегося из точки \( (-4, 6) \) (не включая) и идущего влево и вниз.

Прямая \( y = m \) — горизонтальная линия.

Чтобы было две точки пересечения:

1. Если \( m \) находится между значением вершины параболы \( -2 \) и значением на границе \( -1 \), то есть \( -2 < m < -1 \). В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках.
2. Если \( m \) находится между значением на границе \( -1 \) и началом луча \( 6 \), то есть \( -1 < m < 6 \). В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Это дает 3 точки.

Похоже, что две точки пересечения достигаются только в первом случае.

Проверим границы:

• Если \( m = -2 \), одна точка (вершина параболы).
• Если \( m = -1 \), одна точка на параболе \( (-4, -1) \) и одна на луче \( (-4, 5) \) — всего две точки.
• Если \( m = 6 \), одна точка на параболе \( (-4, 6) \) и начало луча выколото.

Итак, прямая \( y = m \) имеет с графиком две общие точки, когда \( m \) находится в интервале \( (-2, -1) \) (две точки на параболе) или когда \( m=-1 \) (одна точка на параболе и одна на луче).

Перечитаем условие: "две общие точки".

Рассмотрим интервал \( -2 < m < -1 \). Парабола имеет две ветви, которые пересекаются линией \( y=m \) дважды.

Рассмотрим интервал \( -1 < m < 6 \). Парабола пересекается дважды, и луч — один раз. Итого три точки.

Единственный случай, когда у нас будет ровно две точки — это когда \( m \) находится в интервале \( (-2, -1) \).

Ответ: \( -2 < m < -1 \).