Постройте график функции y = |x^2 - 5|x| и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Решение:

Для начала построим график функции \( y = |x^2 - 5|x| \).

1. Рассмотрим функцию \( y = x^2 - 5|x| \). Так как \( |x| \) входит в функцию, она будет чётной, то есть симметричной относительно оси \( Oy \). Построим график для \( x \ge 0 \), где \( y = x^2 - 5x \).
2. Найдём нули функции: \( x^2 - 5x = 0 \) \( \Rightarrow x(x-5) = 0 \). Получаем \( x = 0 \) и \( x = 5 \).
3. Найдём вершину параболы \( y = x^2 - 5x \). Координата \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 · 1} = 2.5 \). Координата \( y_в = (2.5)^2 - 5 · 2.5 = 6.25 - 12.5 = -6.25 \). Вершина находится в точке \( (2.5, -6.25) \).
4. Для \( x \ge 0 \) график — это часть параболы, проходящая через \( (0,0) \), \( (5,0) \) и имеющая вершину в \( (2.5, -6.25) \).
5. Теперь построим график для \( x < 0 \), используя симметрию относительно оси \( Oy \).
6. Далее, применим модуль: \( y = |x^2 - 5|x| | \). Части графика, которые были ниже оси \( Ox \), отражаем вверх. Таким образом, часть параболы с вершиной в \( (2.5, -6.25) \) (и её симметричная часть для \( x < 0 \)) отражается вверх, и новая вершина будет в \( (2.5, 6.25) \) и \( (-2.5, 6.25) \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая.

• Если \( m = 0 \), прямая \( y = 0 \) (ось \( Ox \)) пересекает график в трёх точках: \( x = 0, x = 5, x = -5 \).
• Если \( 0 < m < 6.25 \), прямая \( y = m \) пересекает график в четырёх точках.
• Если \( m = 6.25 \), прямая \( y = 6.25 \) пересекает график в двух точках (вершинах отражённой части).
• Если \( m > 6.25 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках.
• Если \( m < 0 \), прямая \( y = m \) не пересекает график (так как \( y = |...| \) всегда \( ≥ 0 \)).

Нам нужно, чтобы прямая имела не менее одной, но не более трёх общих точек. Анализируя вышесказанное:

• Одна точка: таких значений \( m \) нет.
• Две точки: \( m > 6.25 \) или \( m = 6.25 \).
• Три точки: \( m = 0 \).

Следовательно, нас интересуют случаи, когда \( m = 0 \) (три точки) и \( m ≥ 6.25 \) (две точки).

Ответ: m ≥ 6.25 или m = 0.