Постройте график функции $y=|x^2-4|x|-5|$ и выберите рисунок, на котором представлен данный график.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=|x^2-4|x|-5|$ и выберите рисунок, на котором представлен данный график.$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $t=|x|$. Тогда выражение под внешним модулем раскладывается на множители:

$x^2-4|x|-5=t^2-4t-5=(t-5)(t+1)$.

При $0\le t\le5$ оно неположительно, а при $t\ge5$ — неотрицательно. Поэтому

\[y=\begin{cases}5+4|x|-x^2,&|x|\le5,\\x^2-4|x|-5,&|x|\ge5.\end{cases}\]

График симметричен относительно оси $y$, поскольку функция зависит от $|x|$.
Нули функции: $|x|=5$, то есть точки $(-5,0)$ и $(5,0)$.
При $|x|\le5$ вершины внутренних дуг находятся при $|x|=2$: значение функции равно $9$. В центре $y(0)=5$.
При $|x|\ge5$ ветви направлены вверх.

Этим свойствам соответствует рисунок I.

График функции:

Постройте график функции \(y=|x^2-4|x|-5|\) и выберите рисунок, на котором представлен данный график.