Постройте график функции y = (x^2 + 0,25)(x+1) / (-1-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Данная функция имеет вид: \( y = \frac{(x^2 + 0,25)(x+1)}{-1-x} \).

Приведём функцию к более удобному виду. Заметим, что знаменатель равен \( -(1+x) \).

Если \( x \neq -1 \), то функцию можно сократить:

\( y = \frac{(x^2 + 0,25)(x+1)}{-(x+1)} = -(x^2 + 0,25) = -x^2 - 0,25 \)

График функции \( y = -x^2 - 0,25 \) — парабола с вершиной в точке \( (0, -0,25) \) и ветвями, направленными вниз.

Однако, исходная функция не определена в точке \( x = -1 \). Найдем значение \( y \) для \( x = -1 \) в упрощенной функции: \( y = -(-1)^2 - 0,25 = -1 - 0,25 = -1,25 \). Таким образом, в точке \( x = -1 \) график функции имеет выколотую точку \( (-1, -1,25) \).

Теперь найдём значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = -x^2 - 0,25 \), учитывая выколотую точку.

Приравниваем уравнения:

\( kx = -x^2 - 0,25 \)

\( x^2 + kx + 0,25 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Чтобы оно имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

\[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = k^2 - 1 \]

\( k^2 - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( k^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( k = \pm 1 \)

Если \( k=1 \), то \( x^2 + x + 0,25 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( (x+0,5)^2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -0,5 \).

Если \( k=-1 \), то \( x^2 - x + 0,25 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( (x-0,5)^2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0,5 \).

Теперь учтем выколотую точку \( (-1, -1,25) \).

Если прямая \( y = kx \) проходит через выколотую точку, то \( -1,25 = k(-1) \) \( \Rightarrow \) \( k = 1,25 \).

При \( k = 1,25 \), уравнение \( x^2 + 1,25x + 0,25 = 0 \) имеет два корня:

\[ x = \frac{-1,25 \pm \sqrt{1,25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25}}{2} = \frac{-1,25 \pm \sqrt{1,5625 - 1}}{2} = \frac{-1,25 \pm \sqrt{0,5625}}{2} = \frac{-1,25 \pm 0,75}{2} \]

\( x_1 = \frac{-1,25 + 0,75}{2} = \frac{-0,5}{2} = -0,25 \)

\( x_2 = \frac{-1,25 - 0,75}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

В этом случае, один из корней равен \( -1 \), что соответствует выколотой точке. Значит, прямая \( y = 1,25x \) имеет одну общую точку с графиком (при \( x = -0,25 \)).

Также, прямая \( y = kx \) будет иметь ровно одну общую точку, когда она является касательной к параболе ( \( k = \pm 1 \)), при условии, что точка касания не является выколотой.

Для \( k = 1 \), \( x = -0,5 \). Эта точка не выколота.

Для \( k = -1 \), \( x = 0,5 \). Эта точка не выколота.

Таким образом, прямая \( y = kx \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком при \( k = 1 \), \( k = -1 \) и \( k = 1,25 \).

Ответ: k = 1, k = -1, k = 1,25.