Постройте график функции y = rac{3x+5}{3x^2+5x} и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Для начала упростим функцию:

• \[ y = \frac{3x+5}{3x^2+5x} = \frac{3x+5}{x(3x+5)} \]
• При \(3x+5
  eq 0 \) (то есть \(x
  eq -5/3 \)), функция принимает вид:
• \[ y = \frac{1}{x} \]
• Однако, исходная функция определена не при \(x = -5/3 \) и \(x = 0 \).
• Таким образом, график функции \(y = rac{3x+5}{3x^2+5x}\) — это график гиперболы \(y = rac{1}{x}\) с выколотыми точками при \(x = -5/3\) и \(x = 0\).
• При \(x = -5/3\), \(y = \frac{1}{-5/3} = -3/5 \). Выколотая точка: \((-5/3, -3/5)\).
• При \(x = 0\), знаменатель обращается в ноль, поэтому \(x=0\) — это вертикальный асимптотота, и точка \((0, 0)\) не принадлежит графику.

Теперь найдем, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравниваем \(kx = rac{1}{x}\):

• \[ kx^2 = 1 \]
• \[ x^2 = rac{1}{k} \]
• \[ x =           =   \]
• \[ x =       \]

Для одного решения необходимо, чтобы \(k > 0\). В этом случае мы получаем две точки пересечения \(x =      \) и \(x = -     \).

Однако, мы имеем выколотые точки.

Случай 1: Одна из точек пересечения совпадает с выколотой точкой.

Выколотая точка \(x = -5/3\) соответствует \(y = -3/5\).

Подставляем в \(y = kx\):

• \[ -3/5 = k   \]
• \[ k = rac{-3/5}{-5/3} = rac{3}{5}  rac{3}{5} = rac{9}{25} \]

При \(k = 9/25\), одна из точек пересечения будет \(x = -5/3\), но эта точка выколота. Другая точка будет \(x = 5/3\). Таким образом, при \(k = 9/25\) будет одна общая точка.

Случай 2: Прямая проходит через начало координат (0,0).

Прямая \(y = kx\) всегда проходит через \((0,0)\). Но точка \((0,0)\) не принадлежит графику \(y = 1/x\), так как \(x eq 0\).

Случай 3: Случай, когда \(k=0\).

Если \(k=0\), то \(y=0\). Уравнение \(0 = 1/x\) не имеет решений, так как \(1 eq 0\).

Анализ с помощью производной:

Нам нужно найти значения \(k\), при которых прямая \(y=kx\) касается графика \(y=1/x\) или проходит через выколотую точку.

Касание происходит, когда производная функции равна \(k\) и точка касания находится на графике.

• \[ y' = (-\frac{1}{x^2}) \]
• Приравниваем \(-\frac{1}{x^2} = k\).
• Так как \(x^2  0\), то \(k\) должно быть отрицательным.
• \(x^2 = -1/k\)
• \[ x =     \]
• \[ y = kx = k    =   \]
• \[ y = 1/x \]
• \[   =   \]
• \[ k = -1/x^2 \]
• \[ k = -1 / (-1/k) = k \]
• Это подтверждает, что касание происходит при \(k < 0\).

Однако, нас интересует ровно одна точка пересечения. График \(y=1/x\) имеет две ветви. Прямая \(y=kx\) пересекает обе ветви, если \(k  0\).

Когда \(k > 0\), пересечений два, если нет выколотых точек.

Когда \(k < 0\), пересечений два, если нет выколотых точек.

Единственное пересечение возможно, если одна из точек пересечения является выколотой.

Как было найдено выше, это происходит при \(k = 9/25\).

График:

График функции \(y = rac{1}{x}\) — это гипербола. Точка \((-5/3, -3/5)\) выколота. Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат.

Если \(k = 9/25\), прямая проходит через выколотую точку \((-5/3, -3/5)\). Поскольку эта точка не принадлежит графику, единственное пересечение будет при \(x = 5/3\).