Постройте график функции $$y = \frac{(x^2 + 0.25)(x+1)}{-1-x}$$ Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим функцию:

\( y = \frac{(x^2 + 0.25)(x+1)}{-(1+x)} \)

При \( x \neq -1 \), мы можем сократить \( (x+1) \):

\( y = -(x^2 + 0.25) = -x^2 - 0.25 \)

Таким образом, график функции — это парабола \( y = -x^2 - 0.25 \) с выколотой точкой при \( x = -1 \).

Найдем значение \( y \) при \( x = -1 \):

\( y = -(-1)^2 - 0.25 = -(1) - 0.25 = -1 - 0.25 = -1.25 \)

Выколотая точка имеет координаты \( (-1, -1.25) \).

Теперь определим, при каких \( k \) прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком этой функции.

Приравниваем уравнения:

\( kx = -x^2 - 0.25 \)

\( x^2 + kx + 0.25 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь одну общую точку, если дискриминант равен нулю, или если один из корней уравнения совпадает с абсциссой выколотой точки (\( x = -1 \)).

Случай 1: Дискриминант равен нулю

\( D = k^2 - 4 · 1 · 0.25 = k^2 - 1 \)

\( D = 0 ⇒ k^2 - 1 = 0 ⇒ k = ± 1 \)

Если \( k = 1 \), уравнение \( x^2 + x + 0.25 = 0 \) имеет корень \( x = -0.5 \). Эта точка не является выколотой.

Если \( k = -1 \), уравнение \( x^2 - x + 0.25 = 0 \) имеет корень \( x = 0.5 \). Эта точка не является выколотой.

Случай 2: Один из корней равен -1

Подставим \( x = -1 \) в уравнение \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \):

\( (-1)^2 + k(-1) + 0.25 = 0 \)

\( 1 - k + 0.25 = 0 \)

\( 1.25 - k = 0 ⇒ k = 1.25 \)

В этом случае прямая \( y = 1.25x \) проходит через выколотую точку \( (-1, -1.25) \) и является касательной к параболе в точке \( x = -1 \).

График:

График представляет собой параболу \( y = -x^2 - 0.25 \) с выколотой точкой \( (-1, -1.25) \). Прямая \( y=kx \) проходит через начало координат.

Когда \( k = 1.25 \), прямая проходит через выколотую точку. Это единственная точка пересечения.

Когда \( k = 1 \) или \( k = -1 \), прямая пересекает параболу в одной точке (кроме выколотой).

Ответ: k = 1; k = -1; k = 1.25.