Постройте график функции y = $\begin{cases} x^2 + 2x + 3, & \text{если } x \ge -3, \\ x + 9, & \text{при } x < -3 \end{cases}$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Постройте график функции y = $\begin{cases} x^2 + 2x + 3, & \text{если } x \ge -3, \\ x + 9, & \text{при } x < -3 \end{cases}$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

$Фото задания: Постройте график функции y = \(\begin{cases} x^2 + 2x + 3, & \text{если } x \ge -3, \\ x + 9, & \text{при } x < -3…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Задан график функции, состоящий из двух частей.

1. График функции $ y = x^2 + 2x + 3 $ при $ x \ge -3 $.

Это парабола. Найдем вершину параболы:

$ x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1 $

$ y_в = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 $

Вершина параболы находится в точке $ (-1, 2) $.

Найдем значение функции в точке $ x = -3 $:

$ y = (-3)^2 + 2(-3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 $

Значит, первая часть графика — это ветвь параболы с вершиной в $ (-1, 2) $, начинающаяся из точки $ (-3, 6) $ и идущая вверх.

2. График функции $ y = x + 9 $ при $ x < -3 $.

Это прямая. Найдем значение функции в точке, приближающейся к $ x = -3 $:

При $ x \to -3 $ (слева), $ y = x + 9 $ приближается к $ -3 + 9 = 6 $.

Значит, вторая часть графика — это луч, исходящий из точки $ (-3, 6) $ и идущий влево вверх.

3. Анализ пересечения с прямой $ y = m $.

Прямая $ y = m $ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти значения $ m $, при которых эта прямая пересекает график функции ровно в двух точках.

График функции состоит из:

Ветви параболы $ y = x^2 + 2x + 3 $ с вершиной $ (-1, 2) $ и началом в точке $ (-3, 6) $.
Луча $ y = x + 9 $, исходящего из точки $ (-3, 6) $.

Вершина параболы находится в точке $ (-1, 2) $. Значение $ y $ в вершине равно 2.

Точка $ (-3, 6) $ является общей для обеих частей графика.

Рассмотрим, как горизонтальная прямая $ y = m $ пересекает график:

Если $ m < 2 $, прямая $ y = m $ не пересечет график (так как минимальное значение $ y $ на параболе равно 2).
Если $ m = 2 $, прямая $ y = m $ пересечет график в одной точке (вершина параболы $ (-1, 2) $).
Если $ 2 < m < 6 $, прямая $ y = m $ пересечет ветвь параболы в двух точках.
Если $ m = 6 $, прямая $ y = m $ пересечет график в двух точках: в точке $ (-3, 6) $ (где соединяются обе части) и еще в одной точке на параболе (найдем ее: $ x^2 + 2x + 3 = 6 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-1) = 0 \Rightarrow x = -3 $ или $ x = 1 $. Так как $ x \ge -3 $, то $ x=1 $ — вторая точка.)
Если $ m > 6 $, прямая $ y = m $ пересечет ветвь параболы в двух точках и луч прямой $ y = x + 9 $ в одной точке. Итого три точки.

Чтобы прямая $ y = m $ имела с графиком ровно две общие точки, необходимо, чтобы $ m $ было равно значению в вершине параболы, но при этом это значение было бы единственным пересечением для одной из частей графика, и чтобы вторая часть графика была пересечена в одной точке, которая отличается от первой.

Анализируя выше, мы видим, что две точки пересечения получаются, когда $ m $ находится в интервале $ (2, 6) $ (пересекает параболу дважды) или когда $ m = 6 $ (пересекает параболу в точке $ (-3, 6) $ и $ (1, 6) $, и луч в точке $ (-3, 6) $ — это также одна точка).

Вернемся к условию: ровно две общие точки.

Если $ m > 6 $, пересечений три.
Если $ m = 6 $, пересечений два: $ (-3, 6) $ и $ (1, 6) $.
Если $ 2 < m < 6 $, пересечений два (на параболе).
Если $ m = 2 $, пересечение одно (вершина параболы).
Если $ m < 2 $, пересечений ноль.

Значит, две общие точки получаются, когда $ m $ находится в интервале $ (2, 6] $.

Ответ: $ m \in (2, 6] $.

Ответ:

Решение:

1. График функции \( y = x^2 + 2x + 3 \) при \( x \ge -3 \).

2. График функции \( y = x + 9 \) при \( x < -3 \).

3. Анализ пересечения с прямой \( y = m \).