Постройте график функции у = -x²-2x+3, если х≥−2, -x-1, если х<-2. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = 3 и m = 1

Построение графика функции

Рассмотрим функцию, заданную кусочно:

• Для x ≥ -2: y = -x² - 2x + 3
• Для x < -2: y = -x - 1

Шаг 1: Анализ параболы

Рассмотрим функцию y = -x² - 2x + 3 для x ≥ -2.

• Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при x² отрицательный).
• Найдем вершину параболы: x_в = -b / 2a = -(-2) / (2 * -1) = -1.
• Вершина параболы: x_в = -1.
• Найдем значение функции в вершине: y_в = -(-1)² - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.
• Вершина параболы находится в точке (-1, 4).

Шаг 2: Значение параболы при x = -2

Найдем значение функции y = -x² - 2x + 3 при x = -2:

• y(-2) = -(-2)² - 2(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3
• При x = -2, y = 3.

Шаг 3: Анализ линейной функции

Рассмотрим функцию y = -x - 1 для x < -2.

• Это линейная функция, убывающая (так как коэффициент при x отрицательный).
• Найдем значение функции при x = -2: y(-2) = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1.
• При x = -2, y = 1.

Шаг 4: Построение графика

Шаг 5: Определение значений m

Рассмотрим горизонтальные прямые y = m и их пересечение с графиком:

• Прямая y = 4 пересекает параболу в одной точке (вершина).
• Прямая y = 3 пересекает график в двух точках (на параболе при x = -2 и на линейной функции при x < -2).
• Прямая y = 1 пересекает график в одной точке (на линейной функции при x = -2).

Чтобы прямая y = m имела с графиком ровно две общие точки, рассмотрим случаи:

• m = 3: Прямая y = 3 пересекает параболу в точке x = -2 и линейную функцию.
• Прямая y = 1 касается графика в точке (-2, 1) и пересекает параболу в точке (-1, 4).

Рассмотрим функцию y = -x - 1 для x < -2. Эта функция определена только для x < -2. При x = -2, y = -(-2) - 1 = 1.

• y = 3 касается графика в точке x = -2.
• y = 1 касается графика в точке x = -2.

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = 3 и m = 1.

Ответ: m = 3 и m = 1