Постройте график функции у = x²+x-5|x-1|-2. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

Для решения задачи необходимо:

1. Построить график функции y = x²+x-5|x-1|-2.
2. Определить, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию y = x²+x-5|x-1|-2.

Раскроем модуль:

Если x ≥ 1, то |x-1| = x-1, и функция принимает вид:

y = x² + x - 5(x - 1) - 2 = x² + x - 5x + 5 - 2 = x² - 4x + 3.

Если x < 1, то |x-1| = -(x-1) = 1-x, и функция принимает вид:

y = x² + x - 5(1 - x) - 2 = x² + x - 5 + 5x - 2 = x² + 6x - 7.

Таким образом, функция задается кусочно:

$$y =\begin{cases} x^2 - 4x + 3, & \text{если } x \geq 1 \\ x^2 + 6x - 7, & \text{если } x < 1 \end{cases}$$

Построим график этой функции.

Для x ≥ 1, это парабола y = x² - 4x + 3. Вершина параболы находится в точке x_v = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.

y_v = 2² - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

Таким образом, вершина параболы в точке (2, -1).

Для x < 1, это парабола y = x² + 6x - 7. Вершина параболы находится в точке x_v = -b / (2a) = -6 / 2 = -3.

y_v = (-3)² + 6 * (-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16.

Таким образом, вершина параболы в точке (-3, -16).

Найдем значения функции в точке стыка x=1:

Для x ≥ 1: y = 1² - 4 * 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0.

Для x < 1: y = 1² + 6 * 1 - 7 = 1 + 6 - 7 = 0.

Функция непрерывна в точке x=1.

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Из графика видно, что прямая y = m имеет три общие точки с графиком функции, когда она проходит через вершину одной из парабол, но не через точку стыка, или когда она пересекает график в трех точках.

Одна из таких прямых y = 0 (проходит через точку стыка графиков в x=1).

Прямая y = -1 (проходит через вершину параболы y = x² - 4x + 3).

Других значений m, при которых прямая y = m имеет ровно три общие точки с графиком, нет.

Ответ: m = 0, m = -1.