3. Постройте график функции у = х² - 4х + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Ответ:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим вид функции.

   Функция задана уравнением y = -x² - 4x + 5. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

2. Шаг 2: Найдем координаты вершины параболы.

   Координаты вершины параболы (\(x_v, y_v\)) можно найти по формулам:

   \[x_v = \frac{-b}{2a}\]

   \[y_v = -\frac{D}{4a}\]

   В нашем случае a = -1, b = -4, c = 5.

   \[x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2\]

   Найдем значение функции в этой точке:

   \[y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\]

   Итак, вершина параболы находится в точке (-2, 9).

3. Шаг 3: Определим направление ветвей параболы.

   Так как коэффициент при x² отрицательный (a = -1), ветви параболы направлены вниз.

4. Шаг 4: Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции).

   Решим уравнение -x² - 4x + 5 = 0. Умножим на -1: x² + 4x - 5 = 0

   Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36

   Корни уравнения:

   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

   \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

   Точки пересечения с осью Ox: (1, 0) и (-5, 0).

5. Шаг 5: Найдем точку пересечения с осью Oy.

   Подставим x = 0 в уравнение: y = -0² - 4 \cdot 0 + 5 = 5

   Точка пересечения с осью Oy: (0, 5).

6. Шаг 6: Построим график функции.

7. Шаг 7: Анализ графика.
   • а) Область определения и область значения:
     • Область определения: x ∈ (-∞; +∞) (все действительные числа).
     • Область значения: y ∈ (-∞; 9] (от минус бесконечности до 9 включительно).
   • б) Нули функции:
     • Нули функции: x = -5 и x = 1.
   • в) Промежутки знакопостоянства:
     • y > 0 при x ∈ (-5; 1) (функция положительна).
     • y < 0 при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞) (функция отрицательна).
   • г) Промежутки возрастания и убывания:
     • Функция возрастает при x ∈ (-∞; -2).
     • Функция убывает при x ∈ (-2; +∞).
   • д) Наименьшее и наибольшее значения функции:
     • Наибольшее значение функции: y = 9 (при x = -2).
     • Наименьшего значения не существует (функция убывает до минус бесконечности).

Ответ:

• Область определения: x ∈ (-∞; +∞)
• Область значения: y ∈ (-∞; 9]
• Нули функции: x = -5 и x = 1
• y > 0 при x ∈ (-5; 1)
• y < 0 при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞)
• Функция возрастает при x ∈ (-∞; -2)
• Функция убывает при x ∈ (-2; +∞)
• Наибольшее значение функции: y = 9 (при x = -2)
• Наименьшего значения не существует