3. Постройте график функции у = −x2 - 6x + 7.С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Ответ: a) D(y) = (-∞; +∞), E(y) = (-∞; 16]; б) x1 = -7, x2 = 1; в) y > 0 при x ∈ (-7; 1), y < 0 при x ∈ (-∞; -7) ∪ (1; +∞); г) функция возрастает на (-∞; -3], функция убывает на [-3; +∞); д) y_max = 16 при x = -3, наименьшего значения нет.

1. Шаг 1: Анализ функции y = -x² - 6x + 7

   Это квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x² отрицательный).

2. Шаг 2: Найдем вершину параболы

   Координаты вершины параболы (x₀, y₀) вычисляются по формулам:

   \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3 \] \[ y_0 = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16 \]

   Итак, вершина параболы в точке (-3, 16).

3. Шаг 3: Найдем нули функции

   Решаем уравнение -x² - 6x + 7 = 0:

   \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \]

   Используем теорему Виета:

   \[ x_1 + x_2 = -6 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -7 \]

   Получаем корни x₁ = -7 и x₂ = 1.

4. Шаг 4: Определим область определения и область значения

   Область определения: D(y) = (-∞; +∞).

   Область значения: E(y) = (-∞; 16] (т.к. ветви параболы направлены вниз, максимальное значение функции достигается в вершине параболы).

5. Шаг 5: Определим промежутки знакопостоянства

   y > 0 при x ∈ (-7; 1) (функция положительна между нулями).

   y < 0 при x ∈ (-∞; -7) ∪ (1; +∞) (функция отрицательна вне интервала между нулями).

6. Шаг 6: Определим промежутки возрастания и убывания

   Функция возрастает на (-∞; -3] (до вершины параболы).

   Функция убывает на [-3; +∞) (после вершины параболы).

7. Шаг 7: Определим наименьшее и наибольшее значения функции

   Наибольшее значение: y_max = 16 при x = -3 (в вершине параболы).

   Наименьшего значения нет (функция убывает до -∞).

Ответ: a) D(y) = (-∞; +∞), E(y) = (-∞; 16]; б) x1 = -7, x2 = 1; в) y > 0 при x ∈ (-7; 1), y < 0 при x ∈ (-∞; -7) ∪ (1; +∞); г) функция возрастает на (-∞; -3], функция убывает на [-3; +∞); д) y_max = 16 при x = -3, наименьшего значения нет.