18.5. Постройте график функции у = \frac{2}{x}. С помощью графика найдите: а) значения у при х = 1; -2; 4; б) значения х, если у = −1; 2; −4; в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [\frac{1}{2}; 2]; г) какому промежутку принадлежит переменная х, если ує [-2; -1].

Ответ: а) y(1) = 2; y(-2) = -1; y(4) = 0.5; б) x(-1) = -2; x(2) = 1; x(-4) = -0.5; в) y_min = 1; y_max = 4; г) x ∈ [-2; -1] ∪ [1; 2]

Пошаговое решение:

• а) Значения y при заданных x:

Чтобы найти значения y, подставим значения x в функцию y = 2/x:

• x = 1, y = 2/1 = 2
• x = -2, y = 2/(-2) = -1
• x = 4, y = 2/4 = 0.5

• б) Значения x при заданных y:

Чтобы найти значения x, выразим x через y из функции y = 2/x:

x = 2/y

Теперь подставим значения y:

• y = -1, x = 2/(-1) = -2
• y = 2, x = 2/2 = 1
• y = -4, x = 2/(-4) = -0.5

• в) Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1/2; 2]:

Найдем значения функции на концах отрезка:

• x = 1/2, y = 2/(1/2) = 4
• x = 2, y = 2/2 = 1

Так как функция y = 2/x убывает на положительной полуоси, то:

• Наименьшее значение: y_min = 1
• Наибольшее значение: y_max = 4

• г) Промежуток для x, если y ∈ [-2; -1]:

Решим неравенства:

-2 ≤ 2/x ≤ -1

Разделим на два неравенства:

2/x ≤ -1 и -2 ≤ 2/x

• 2/x ≤ -1 → 2/x + 1 ≤ 0 → (2 + x)/x ≤ 0

Метод интервалов: x ∈ [-2; 0)

• -2 ≤ 2/x → 0 ≤ 2/x + 2 → 0 ≤ (2 + 2x)/x

Метод интервалов: x ∈ (-∞; -1] ∪ (0; +∞)

Пересечение решений: x ∈ [-2; -1]

Рассмотрим положительную полуось:

-1 ≤ 2/x ≤ -2 (невозможно)

2/x ≥ -2 → 2/x + 2 ≥ 0 → (2x + 2)/x ≥ 0 → x ∈ (-∞; -1] ∪ (0; ∞)

2/x ≤ -1 → 2/x + 1 ≤ 0 → (x + 2)/x ≤ 0 → x ∈ [-2; 0)

Так как -2 ≤ y ≤ -1, то на этом промежутке x будет от -2 до -1:

x ∈ [-2; -1]

Находим промежуток для x, если y ∈ [-2; -1]:

x = 2/y

Если y = -2, то x = 2/(-2) = -1

Если y = -1, то x = 2/(-1) = -2

Тогда x ∈ [-2; -1]

Аналогично, если y ∈ [1; 2], то x ∈ [1; 2]

Объединяем результаты:

x ∈ [-2; -1] ∪ [1; 2]

Ответ: а) y(1) = 2; y(-2) = -1; y(4) = 0.5; б) x(-1) = -2; x(2) = 1; x(-4) = -0.5; в) y_min = 1; y_max = 4; г) x ∈ [-2; -1] ∪ [1; 2]