Постройте график функции у = \(\frac{4|x|-3}{3|x|-4x^2}\) и определите, при каких значениях k прямая у= kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: k = -4/3, k = -16/3

Рассмотрим функцию y = \(\frac{4|x|-3}{3|x|-4x^2}\)

1. Область определения:

3|x| - 4x² ≠ 0

Рассмотрим два случая:

а) x > 0: 3x - 4x² ≠ 0; x(3 - 4x) ≠ 0; x ≠ 0, x ≠ 3/4

б) x < 0: -3x - 4x² ≠ 0; x(-3 - 4x) ≠ 0; x ≠ 0, x ≠ -3/4

Таким образом, область определения: x ≠ 0, x ≠ 3/4, x ≠ -3/4

2. Преобразование функции:

а) x > 0: y = \(\frac{4x-3}{3x-4x^2}\) = \(\frac{4x-3}{x(3-4x)}\)

б) x < 0: y = \(\frac{-4x-3}{-3x-4x^2}\) = \(\frac{-(4x+3)}{-x(3+4x)}\) = \(\frac{4x+3}{x(3+4x)}\)

3. Исследование функции на непрерывность:

Функция имеет разрывы в точках x = 0, x = 3/4, x = -3/4

4. Построение графика функции:

Для построения графика функции необходимо вычислить значения функции в различных точках и построить график.

5. Определение значений k, при которых прямая y = kx не имеет общих точек с графиком:

Прямая y = kx проходит через начало координат. Для того чтобы прямая не имела общих точек с графиком функции, она должна проходить через точки разрыва функции.

а) x = 3/4: y = \(\frac{4 \cdot \frac{3}{4} - 3}{\frac{3}{4}(3 - 4 \cdot \frac{3}{4})}\) = \(\frac{0}{0}\) (не определено)

б) x = -3/4: y = \(\frac{4 \cdot |-\frac{3}{4}| - 3}{3 \cdot |-\frac{3}{4}| - 4(-\frac{3}{4})^2}\) = \(\frac{0}{0}\) (не определено)

Рассмотрим пределы функции в точках разрыва:

lim (x->0+) \(\frac{4x-3}{x(3-4x)}\) = -∞

lim (x->0-) \(\frac{4x+3}{x(3+4x)}\) = +∞

lim (x->3/4) \(\frac{4x-3}{x(3-4x)}\) = \(\frac{4 \cdot \frac{3}{4} - 3}{\frac{3}{4}(3 - 4 \cdot \frac{3}{4})}\) = \(\frac{0}{0}\)

Преобразуем выражение: \(\frac{4x-3}{x(3-4x)}\) = \(\frac{4x-3}{x(3-4x)}\) = \(\frac{-4(3/4 - x)}{x \cdot 4(3/4 - x)}\) = -4/x

lim (x->3/4) -4/x = -4/(3/4) = -16/3

lim (x->-3/4) \(\frac{4x+3}{x(3+4x)}\) = \(\frac{4(-\frac{3}{4})+3}{(-\frac{3}{4})(3 + 4(-\frac{3}{4}))}\) = \(\frac{0}{0}\)

Преобразуем выражение: \(\frac{4x+3}{x(3+4x)}\) = \(\frac{4(x + 3/4)}{x \cdot 4(x + 3/4)}\) = 4/x

lim (x->-3/4) 4/x = 4/(-3/4) = -16/3

Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком функции, если она проходит через точки разрыва функции, то есть k = -4/3 и k = -16/3.

Ответ: k = -4/3, k = -16/3