Постройте график функции у = 4|x|-3 3|x|-4х2 и определите, при каких значениях к прямая у = kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком функции при k = -4/3 или k > 4/3

Решение:

Рассмотрим функцию:

\[y = \frac{4|x| - 3}{3|x| - 4x^2}\]

• Сначала рассмотрим случай x > 0:

\[y = \frac{4x - 3}{3x - 4x^2} = \frac{4x - 3}{x(3 - 4x)}\]

• Теперь рассмотрим случай x < 0:

\[y = \frac{-4x - 3}{-3x - 4x^2} = \frac{4x + 3}{x(4x + 3)}\]

• Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком, когда знаменатель равен нулю или когда функция не определена.
• При x > 0:

\[3 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}\] \[y = \frac{4(\frac{3}{4}) - 3}{\frac{3}{4}(3 - 4(\frac{3}{4}))} = \frac{0}{0}\]

При x = 3/4 функция не определена.

• При x < 0:

\[4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}\] \[y = \frac{4(-\frac{3}{4}) + 3}{-\frac{3}{4}(4(-\frac{3}{4}) + 3)} = \frac{0}{0}\]

При x = -3/4 функция также не определена.

• Определим значение функции при x = 3/4 и x = -3/4:

\[y = \frac{4x - 3}{x(3 - 4x)}\]

• При x = 3/4, y стремится к бесконечности.

\[y = \frac{4x + 3}{x(4x + 3)}\]

• При x = -3/4, y также стремится к бесконечности.
• Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком, если она параллельна асимптоте или если она не пересекает график в точках, где функция определена.
• Рассмотрим случай x > 0:

\[y = \frac{4x - 3}{3x - 4x^2}\]

При x = 3/4 функция имеет вертикальную асимптоту.

• При x < 0:

\[y = \frac{4x + 3}{x(4x + 3)}\]

При x = -3/4 функция также имеет вертикальную асимптоту.

• Рассмотрим пределы функции при x, стремящемся к бесконечности:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3}{3x - 4x^2} = 0\] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 3}{-3x - 4x^2} = 0\]

Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком, когда k равно угловому коэффициенту асимптоты или когда прямая проходит через точку разрыва функции.

В данном случае, прямая y = kx не имеет общих точек с графиком функции при k = -4/3 или k > 4/3.

Ответ: Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком функции при k = -4/3 или k > 4/3