Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку: y = ((x² + 2,25)(x + 1))/(-1 - x).

При x ≠ −1 сокращаем общие множители:

\(y=\dfrac{(x^2+2.25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+2.25)\).

Значение x = −1 исключено из области определения исходной функции. Поэтому график — парабола \(y=-x^2-2.25\) с выколотой точкой \((-1,-3.25)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) задаются уравнением

\(-x^2-2.25=kx\), то есть \(x^2+kx+2.25=0\), причём корень \(x=-1\) не учитывается.

1. Если дискриминант \(D=k^2-9\) отрицателен, пересечений нет.
2. Если \(D=0\), имеется один корень: это происходит при \(k=3\) или \(k=-3\). В обоих случаях корень допустим.
3. Если \(D>0\), обычно имеются два пересечения. Исключение возникает, когда один из корней равен −1. Подстановка даёт \(1-k+2.25=0\), откуда \(k=3.25=\dfrac{13}{4}\). При этом второй корень равен \(-\dfrac{9}{4}\), поэтому остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k=-3\), \(k=3\) или \(k=\dfrac{13}{4}\).