22 Постройте график функции \begin{cases}x² + 4x - 1, если х> -4;\\ x, если х < -4.\end{cases} Определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию:

$$y = \begin{cases} x^2 + 4x - 1, \text{ если } x \ge -4 \\ x, \text{ если } x < -4 \end{cases}$$

1) Парабола: $$y = x^2 + 4x - 1$$.

Выделим полный квадрат: $$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 1 = (x + 2)^2 - 5$$.

Вершина параболы: $$(-2, -5)$$.

Ветви направлены вверх.

Нули функции:

$$x^2 + 4x - 1 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$$

$$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$$

$$x_1 = -2 - \sqrt{5} \approx -4.24$$

$$x_2 = -2 + \sqrt{5} \approx 0.24$$

Так как рассматриваем функцию при $$x \ge -4$$, то учитываем часть параболы от $$x = -4$$ и правее.

При $$x = -4$$, $$y = (-4)^2 + 4 \cdot (-4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1$$.

2) Прямая: $$y = x$$.

Строим прямую для $$x < -4$$.

При $$x = -4$$, $$y = -4$$.

Нарисуем график функции (схематично):

      |
      |
----- + -----
      |
      |

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки при следующих значениях $$m$$:

$$m = -5$$ (прямая проходит через вершину параболы).

Ответ: -5