4. Постройте график функции \[ y=\begin{cases} \frac{5}{x}, x \leq -1, \\ x^2-4x, x > -1.\\ \end{cases} \] и определите, при каких значениях с прямая y = c будет пересекать построенный график в трех точках.

Ответ: Прямая y=c пересекает график в трех точках при c ∈ (4; 5]

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции при x ≤ -1

Функция задана как \[ y = \frac{5}{x} \] при \[ x \leq -1 \].

• Шаг 2: Анализ функции при x > -1

Функция задана как \[ y = x^2 - 4x \] при \[ x > -1 \].

• Шаг 3: Нахождение вершины параболы

Для функции \[ y = x^2 - 4x \] найдем вершину параболы, используя формулу \[ x_v = \frac{-b}{2a} \], где a = 1 и b = -4.

\[ x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \]

Теперь найдем значение y в вершине:

\[ y_v = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \]

Итак, вершина параболы находится в точке (2, -4).

• Шаг 4: Анализ поведения функций на границах

При \[ x = -1 \] для функции \[ y = \frac{5}{x} \] получим:

\[ y = \frac{5}{-1} = -5 \]

При \[ x \to -1^+ \] для функции \[ y = x^2 - 4x \] получим:

\[ y = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 \]

• Шаг 5: Построение графика

Функция \[ y = \frac{5}{x} \] при \[ x \leq -1 \] убывает от -5 до 0.

Функция \[ y = x^2 - 4x \] при \[ x > -1 \] представляет собой параболу с вершиной в точке (2, -4), значение в точке x = -1 равно 5.

• Шаг 6: Определение значений c, при которых прямая y = c пересекает график в трех точках

Прямая \[ y = c \] пересекает график в трех точках, когда c находится между значением функции \[y = \frac{5}{x}\] в точке x = -1 и значением функции \[y = x^2 - 4x\] в точке x = -1, не включая значение функции \[y = \frac{5}{x}\] в точке x = -1, и не превосходя значение 5.

Значения: от 4 (не включая, т.к. при y = 4 только 2 точки пересечения) до 5 (включая, т.к. при y = 5 есть 3 точки пересечения).

Ответ: Прямая y=c пересекает график в трех точках при c ∈ (4; 5]