Постройте фигуру, ограниченную линиями: y = -x² - 2, x = -3, x = 3, y = 0 (ось Ох). Найдите её площадь.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии.

Нам нужно найти площадь фигуры, которая ограничена параболой y = -x² - 2, вертикальными линиями x = -3 и x = 3, а также осью Ox (это линия y = 0).

Шаг 1: Анализ функции

Функция y = -x² - 2 — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0; -2).

Шаг 2: Определение границ интегрирования

Нас интересует область между x = -3 и x = 3.

Шаг 3: Анализ расположения относительно оси Ox

Обрати внимание, что для всех значений x от -3 до 3, значение y = -x² - 2 будет отрицательным (например, при x=0, y=-2; при x=3, y=-11).

Это означает, что вся фигура находится ниже оси Ox.

Шаг 4: Расчет площади

Чтобы найти площадь фигуры, которая находится ниже оси Ox, мы будем использовать определенный интеграл. Площадь будет равна интегралу от верхнего предела (y=0) до нижнего предела (y = -x² - 2), взятому по оси x от -3 до 3.

Формула площади (S) будет выглядеть так:

S = ∫[-3, 3] (0 - (-x² - 2)) dx

S = ∫[-3, 3] (x² + 2) dx

Теперь вычислим интеграл:

S = [x³/3 + 2x] от -3 до 3

Подставим верхний предел:

(3³/3 + 2*3) = (27/3 + 6) = (9 + 6) = 15

Подставим нижний предел:

((-3)³/3 + 2*(-3)) = (-27/3 - 6) = (-9 - 6) = -15

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

S = 15 - (-15) = 15 + 15 = 30

Ответ: Площадь фигуры равна 30.