Контрольные задания
Вопрос:

Построй в тетради ломаные линии ABCDE и MNK по координатам точек A(-6; 2), B(-4; 6), C(1; 1), D(2; -5), E(8; -1) и M(-5; -5), N(-1; 7), K(8; 4). Найди координаты точек пересечения ломаных ABCDE и MNK.

Фото задания: Построй в тетради ломаные линии ABCDE и MNK по координатам точек A(-6; 2), B(-4; 6), C(1; 1), D(2; -5), E(8; -1) и M(-5; -5),…Фото задания

Ответ:

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить ломаные линии ABCDE и MNK на координатной плоскости, используя заданные координаты точек, а затем найти точки их пересечения.

Ломаная ABCDE:

  • Точка A: (-6, 2)
  • Точка B: (-4, 6)
  • Точка C: (1, 1)
  • Точка D: (2, -5)
  • Точка E: (8, -1)

Ломаная MNK:

  • Точка M: (-5, -5)
  • Точка N: (-1, 7)
  • Точка K: (8, 4)

Теперь найдем уравнения прямых, содержащих отрезки ломаных, и проверим их пересечение.

Отрезки ломаной ABCDE:

  1. AB: Уравнение прямой, проходящей через A(-6, 2) и B(-4, 6).
    \( \text{Угловой коэффициент } k = \frac{6-2}{-4-(-6)} = \frac{4}{2} = 2 \)
    \( y - 2 = 2(x - (-6)) \)
    \( y - 2 = 2x + 12 \)
    \( y = 2x + 14 \)
  2. BC: Уравнение прямой, проходящей через B(-4, 6) и C(1, 1).
    \( \text{Угловой коэффициент } k = \frac{1-6}{1-(-4)} = \frac{-5}{5} = -1 \)
    \( y - 1 = -1(x - 1) \)
    \( y - 1 = -x + 1 \)
    \( y = -x + 2 \)
  3. CD: Уравнение прямой, проходящей через C(1, 1) и D(2, -5).
    \( \text{Угловой коэффициент } k = \frac{-5-1}{2-1} = \frac{-6}{1} = -6 \)
    \( y - 1 = -6(x - 1) \)
    \( y - 1 = -6x + 6 \)
    \( y = -6x + 7 \)
  4. DE: Уравнение прямой, проходящей через D(2, -5) и E(8, -1).
    \( \text{Угловой коэффициент } k = \frac{-1-(-5)}{8-2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
    \( y - (-5) = \frac{2}{3}(x - 2) \)
    \( y + 5 = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \)
    \( y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} - 5 \)
    \( y = \frac{2}{3}x - \frac{19}{3} \)

Отрезки ломаной MNK:

  1. MN: Уравнение прямой, проходящей через M(-5, -5) и N(-1, 7).
    \( \text{Угловой коэффициент } k = \frac{7-(-5)}{-1-(-5)} = \frac{12}{4} = 3 \)
    \( y - 7 = 3(x - (-1)) \)
    \( y - 7 = 3x + 3 \)
    \( y = 3x + 10 \)
  2. NK: Уравнение прямой, проходящей через N(-1, 7) и K(8, 4).
    \( \text{Угловой коэффициент } k = \frac{4-7}{8-(-1)} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} \)
    \( y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 8) \)
    \( y - 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3} \)
    \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3} + 4 \)
    \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{20}{3} \)

Поиск точек пересечения:

Теперь будем попарно приравнивать уравнения отрезков ломаных и проверять, попадает ли точка пересечения в пределы отрезков.

  1. Пересечение AB (y = 2x + 14) и MN (y = 3x + 10):
    \( 2x + 14 = 3x + 10 \)
    \( 4 = x \) — не попадает в отрезок AB (x от -6 до -4).
  2. Пересечение AB (y = 2x + 14) и NK (y = -1/3x + 20/3):
    \( 2x + 14 = -\frac{1}{3}x + \frac{20}{3} \)
    \( 6x + 42 = -x + 20 \)
    \( 7x = -22 \)
    \( x = -22/7 ≈ -3.14 \) — попадает в отрезок AB (x от -6 до -4).
    \( y = 2(-\frac{22}{7}) + 14 = -\frac{44}{7} + \frac{98}{7} = \frac{54}{7} \)
    Проверим, попадает ли в отрезок NK (x от -1 до 8). -22/7 не попадает в отрезок NK.
  3. Пересечение BC (y = -x + 2) и MN (y = 3x + 10):
    \( -x + 2 = 3x + 10 \)
    \( -8 = 4x \)
    \( x = -2 \) — не попадает в отрезок BC (x от -4 до 1).
  4. Пересечение BC (y = -x + 2) и NK (y = -1/3x + 20/3):
    \( -x + 2 = -\frac{1}{3}x + \frac{20}{3} \)
    \( -3x + 6 = -x + 20 \)
    \( -2x = 14 \)
    \( x = -7 \) — не попадает в отрезок BC (x от -4 до 1).
  5. Пересечение CD (y = -6x + 7) и MN (y = 3x + 10):
    \( -6x + 7 = 3x + 10 \)
    \( -3 = 9x \)
    \( x = -1/3 \) — попадает в отрезок CD (x от 1 до 2)? Нет, не попадает.
  6. Пересечение CD (y = -6x + 7) и NK (y = -1/3x + 20/3):
    \( -6x + 7 = -\frac{1}{3}x + \frac{20}{3} \)
    \( -18x + 21 = -x + 20 \)
    \( 1 = 17x \)
    \( x = 1/17 \) — не попадает в отрезок CD (x от 1 до 2).
  7. Пересечение DE (y = 2/3x - 19/3) и MN (y = 3x + 10):
    \( \frac{2}{3}x - \frac{19}{3} = 3x + 10 \)
    \( 2x - 19 = 9x + 30 \)
    \( -49 = 7x \)
    \( x = -7 \) — не попадает в отрезок DE (x от 2 до 8).
  8. Пересечение DE (y = 2/3x - 19/3) и NK (y = -1/3x + 20/3):
    \( \frac{2}{3}x - \frac{19}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{20}{3} \)
    \( 2x - 19 = -x + 20 \)
    \( 3x = 39 \)
    \( x = 13 \) — не попадает в отрезок DE (x от 2 до 8) и NK (x от -1 до 8).

Проверим пересечение ломаных ABCDE и MNK.

Первая ломаная ABCDE состоит из отрезков AB, BC, CD, DE.

Вторая ломаная MNK состоит из отрезков MN, NK.

Находим пересечения:

  1. Отрезок BC (y = -x + 2) и отрезок NK (y = -1/3x + 20/3):
    \( -x + 2 = -1/3x + 20/3 \)
    \( -3x + 6 = -x + 20 \)
    \( -2x = 14 \)
    \( x = -7 \). Точка x=-7 не входит в отрезок BC (x от -4 до 1) и в отрезок NK (x от -1 до 8).
  2. Отрезок CD (y = -6x + 7) и отрезок MN (y = 3x + 10):
    \( -6x + 7 = 3x + 10 \)
    \( -3 = 9x \)
    \( x = -1/3 \). Точка x=-1/3 не входит в отрезок CD (x от 1 до 2) и в отрезок MN (x от -5 до -1).
  3. Отрезок DE (y = 2/3x - 19/3) и отрезок NK (y = -1/3x + 20/3):
    \( 2/3x - 19/3 = -1/3x + 20/3 \)
    \( 2x - 19 = -x + 20 \)
    \( 3x = 39 \)
    \( x = 13 \). Точка x=13 не входит в отрезок DE (x от 2 до 8) и в отрезок NK (x от -1 до 8).

Пересечение ломаных происходит на отрезке CD и MN.

Отрезок CD: y = -6x + 7, где x от 1 до 2.

Отрезок MN: y = 3x + 10, где x от -5 до -1.

Эти отрезки не пересекаются, так как их области определения по x не совпадают.

Давайте пересчитаем точки пересечения отрезков ломаных.

1. Пересечение отрезка BC (y = -x + 2) и MN (y = 3x + 10):

\( -x + 2 = 3x + 10 \)

\( -8 = 4x \)

\( x = -2 \). Проверим, входит ли x=-2 в диапазоны отрезков BC (x от -4 до 1) и MN (x от -5 до -1).

x=-2 входит в отрезок BC.

x=-2 входит в отрезок MN.

Найдем y: \( y = -(-2) + 2 = 2 + 2 = 4 \).

Следовательно, точка пересечения (-2, 4).

2. Пересечение отрезка DE (y = 2/3x - 19/3) и NK (y = -1/3x + 20/3):

\( 2/3x - 19/3 = -1/3x + 20/3 \)

\( 2x - 19 = -x + 20 \)

\( 3x = 39 \)

\( x = 13 \). Проверим, входит ли x=13 в диапазоны отрезков DE (x от 2 до 8) и NK (x от -1 до 8).

x=13 не входит ни в один из отрезков.

3. Пересечение отрезка CD (y = -6x + 7) и NK (y = -1/3x + 20/3):

\( -6x + 7 = -1/3x + 20/3 \)

\( -18x + 21 = -x + 20 \)

\( 1 = 17x \)

\( x = 1/17 \). Проверим, входит ли x=1/17 в диапазоны отрезков CD (x от 1 до 2) и NK (x от -1 до 8).

x=1/17 не входит в отрезок CD.

4. Пересечение отрезка CD (y = -6x + 7) и MN (y = 3x + 10):

\( -6x + 7 = 3x + 10 \)

\( -3 = 9x \)

\( x = -1/3 \). Проверим, входит ли x=-1/3 в диапазоны отрезков CD (x от 1 до 2) и MN (x от -5 до -1).

x=-1/3 не входит в отрезок CD.

x=-1/3 входит в отрезок MN.

5. Пересечение отрезка DE (y = 2/3x - 19/3) и MN (y = 3x + 10):

\( 2/3x - 19/3 = 3x + 10 \)

\( 2x - 19 = 9x + 30 \)

\( -49 = 7x \)

\( x = -7 \). Проверим, входит ли x=-7 в диапазоны отрезков DE (x от 2 до 8) и MN (x от -5 до -1).

x=-7 не входит ни в один из отрезков.

Итого, единственная точка пересечения отрезков ломаных — это (-2, 4), которая является пересечением отрезка BC и отрезка MN.

Ответ: точка пересечения ( -2 ; 4 ).